Bijektion av mängd.

http://www.ladda-upp.se/bilder/rmxzmipebirdch/

(1): Undrar över beviset för sats 6.5.2. I fall c : Nn -> S är en bijektion, är då c^(-1) : S -> Nn? Och är c^(-1) också en bijektion?

(2): Ifall c : Nn -> S och b : N -> S (båda bijektioner), varför blir då c^(-1)b : N -> Nn och framförallt, hur beräknas c^(-1)b?

(3): Är c^(-1)b och bc^(-1) samma sak?

Ja.


Inversen c^(-1) : S -> Nn.

Om f : B -> C och g : A -> B så gäller för sammansättningen fg : A -> C.
För c^(-1) b får vi därför c^(-1) b : N -> Nn

Beräkning:
(c^(-1) b)(x) = c^(-1)(b(x)) = det t ur Nn som uppfyller c(t) = b(x).


c^(-1) b : N -> Nn
b c^(-1) : S -> S

Dessa är alltså inte samma sak.

Tackar tackar.

"Beräkning:
(c^(-1) b)(x)"

Skulle du kunna förklara mer pedagogiskt hur den här beräkningen går till? Vad betyder "det t ur Nn som uppfyller c(t) = b(x)"? Hänger inte riktigt med

Vad betyder c^(-1)(x)? Vilket värde har uttrycket? Jo, c^(-1)(x) = t om x = c(t), dvs c^(-1)(x) är det t som uppfyller x = c(t).

På samma sätt gäller (c^(-1) b)(x) = c^(-1)(b(x)) = t om b(x) = c(t), dvs (c^(-1) b)(x) är det t som uppfyller b(x) = c(t), eller ekvivalent c(t) = b(x).

Tack som fan. Kan jag formulera det i ord såhär? Berätta gärna vad som eventuellt är fel.

Om c : Nn -> S och b : N -> S, det följer att c^(-1) : S -> Nn. Betrakta sammansättningen:

(c^(-1)(b(x))

Vi vet att (c^(-1)(b(x)) = t om b(x) = c(t)
dvs, funktionen (c^(-1)(b(x)) är en funktion vars defintionsmängd är lika med b(x) : N -> S definitionsmängd, alltså N. Och eftersom b(x) = c(t) så följer att (c^(-1)(b(x)) värdemängd (=t) egentligen är defintionsmängden av c : Nn - > S dvs (=Nn) alltså är:

(c^(-1)(b(x)) : N -> Nn en funtkion från definitionsmängden N till värdemängden Nn.

Stämmer det jag sagt?

Du behöver inte blanda in b här. Men c måste vara en bijektion.
Om c : Nn -> S är en bijektion, gäller att c^(-1) : S -> Nn.



Om du bara vill dra slutsatsen att c^(-1) b : N -> Nn så räcker det att veta att b : N -> S och c^(-1) : S -> Nn.

Okej, men du svara inte på frågan. Var min formulering korrekt eller felaktig?

Den första delen var felaktig i den mening att ett nödvändigt villkor saknades: c bijektion.

Den andra delen är logiskt korrekt, men man skriver inte b(x) : N -> S, utan b : N -> S. Funktionen är b; det är det som ska vara före kolonet. Med b(x) avses värdet av b för argumentet x.

Det finns visserligen fall då det är korrekt att skriva b(x) : D -> V, men i dessa fall är b en funktion som returnerar en funktion, inte ett tal. Detta är dock överkurs.