Några uppgifter i Komplex analys

Jag har problem med följande fyra, ganska lika problem från boken Complex Variables av Stephen D. Fisher:

[;35;]. Let L be the line [;y=a, a>0.;] Show that the locus of points [;\frac{1}{z},z \in L, ;]is the circle of radius [;\frac{1}{2a};] centered at [;\frac{-i}{2a}.;]

[;36;]. Let L be a line through the origin. Show that the locus of points [;\frac{1}{z},z \in L ;]is a line through the origin. What is the relationship of the slopes of the two lines?

[;37;]. Let C be the circle [;|z-c|=r,0<r<c.;] Show that the locus of points [;\frac{1}{z},z \in C ;]is the circle centered at [;\frac{c}{c^2-r^2};], of radius [;\frac{r}{c^2-r^2}.;]

[;38;]. Let C be the circle [;|z-r|=r,r>0.;] Show that the locus of points [;\frac{1}{z},z \in C;] is the vertical line through [;\frac{1}{2r}.;]


[;35;] Mitt försök till lösning:

[;z=x+ia, \frac{1}{z}=\frac{1}{x+ia};]

[;(\frac{1}{x+ia}-(-)\frac{i}{2a})^2=\frac{1}{4a^2} \Longleftrightarrow (\frac{(2a+i*(x+ia)}{(x+ia)(2a)})^2=\frac{1}{4a^2} ;]
Om jag nu tar roten ur bägge sidor får jag:
[;|\frac{a+ix}{2ax+2a^2}|=\frac{1}{2a}, VL=\frac{|a+ix|}{|2ax+2a^2|}| \Longleftrightarrow \sqrt{(\frac{a^2+x^2}{4a^2*x^2+4a^2})} \Longleftrightarrow ;] [; \sqrt{(\frac{a^2+x^2}{4a^2*(x^2+a^2)})} \Longleftrightarrow \sqrt{(\frac{1}{4a^2})}=\frac{1}{2a} ;]

Så långt inga problem. Ska jag göra om samma sak nu för punkten z? Det görs inte i facit nämligen, vilket gör mig fundersam.

[;36;] Vet inte riktigt hur jag skall göra här. En linje har formen [; ax+by=c ;], så jag ska alltså visa att både [; z, \frac{1}{z};] någonstans har värdet (0,0)?

[;37;] Denna förstår jag inte riktigt. Facit säger så här:
[; C= [ z:|z-c|=r ] = [ c+re^{i\theta}: 0 \leq \theta < 2\pi ] ;]
[; |\frac{1}{z}-\frac{c}{c^2-r^2}|=|\frac{1}{c+re^{i\theta}}-\frac{c}{c^2-r^2}|=|\frac{c^2-r^2-c(c+re^{i\theta})}{(c^2-r^2)(c+re^{i\theta})}|=\frac{r}{c^2-r^2} ;]

Det jag inte förstår är hur jag får att [; r=c+re^{i\theta} ;]. Förstår inte heller varför r omvandlas på detta sätt eftersom detta är någonting som det står om först flera delkapitel senare i boken.

[;38;] Jag kan förmodligen lösa denna efter att jag har förstått [;37;].

Till slut har jag ett litet problem till. Jag undrar hur jag får fram ekvationen för en ellips utifrån [; |z+2|+|z-2|=5;] Ekvationen skall bli [;1=\frac{4x^2}{25}+\frac{4y^2}{9} ;] Det jag får fram på egen hand är att brännpunkterna är i [; z=2, z=-2;] och att vertex då är i [; (\frac{5}{2},0), (\frac{-5}{2},0) ;]

Linjen L = { x+iy | y = a > 0 } = { x+ia | a > 0 } ger z = x+ia för punkter på linjen.

Inversen:
1/z = 1/(x+ia) = (x-ia)/(x²+a²)

Inför u = Re(1/z) och v = Im(1/z), dvs u = x/(x²+a²) och v = -a/(x²+a²).

Vi ser att
u² + v² = Re(1/z)² + Im(1/z)² = x²/(x²+a²)² + a²/(x²+a²)² = 1/(x²+a²) = Im(1/z)/(-a) = v/(-a),
varför
0 = u² + v² + v/a = u² + (v + 1/(2a))² - 1/(2a)²
dvs
u² + (v + 1/(2a))² = 1/(2a)²

Detta är ekvationen för en cirkel med radie 1/(2a) och centrum i (u, v) = (0, -1/(2a)) dvs i z = -i/(2a).

Ah. Går det att lösa uppgiften på mitt sätt dock? Rätt svar, men rätt uträkningar? Jag förstår inte riktigt hur jag även ska visa samma sak för punkt z. I lösningsskissen används möbiusavbildningar, och detta tas inte upp förrän långt senare i boken. Går det att lösa utan att använda möbiusavbildningar?

Jag har sett lösningsskisser på 36,37,38, och den sista frågan, och tror att jag har greppat dem (vet inte hur man redigerar bort dem, det går kanske inte?).

Ja, det går. Men det är inte snyggt att utgå från det du ska visa och komma fram till något uppenbart sant.

Bättre:
|1/z - (-i)/(2a)|² = |1/(x+ia) + i/2a|² = |2a + i(x+ia)|²/|2a(x+ia)|²
= |a+ix|²/|2a(x+ia)|² = { |a+ix| = |x+ia| } = 1/|2a|²
Alltså ligger 1/z på cirkeln med centrum (-i)/2a och med radie 1/|2a|.

Vad vi missar att visa här, och som även jag missade att visa, är att hela cirkeln täcks (vi måste dock komplettera med 1/(∞+ia) = 0).