Panik Med Induktion!

Har problem med en bevisfråga med hjälp av induktion!

Följden a0,a1,a2,... ges rekursivt av att a(0)=4 och att a(n+1)=2a(n)-(a(n))^2 för n>_0. Visa med induktion att för n>_1 gäller att

a(n)=1-3^(2^n)

Hur gör jag??

Antag a(1) = 1-3^(2^1) = -8.
Verifiera antagandet: a(1) = 2*4-4^2 = 8-16 = -8.

Antag att a(n)=1-3^(2^n) och visa att a(n+1) = 1-3^(2^(n+1)) följer:

a(n+1) = 2a(n)-a(n)^2 =

{substition i kvadratiska termen}

2a(n) - (1-3^(2^n))^2 =

{utveckla kvadratiska termen}

2a(n) - (1 - 2*3^(2^n) + (3^(2^n))^2) =

{skriv om 1 - 2*3^(2^n) till 2a(n)-1}

2a(n) - (2a(n)-1) - (3^(2^n))^2 =

1 - (3^(2^n))^2 =
1 - 3^(2*2^n) =
1 - 3^(2^(n+1)) ■

Låt induktionsaxiomet göra sin magi och du har det du är ute efter.

edit: Kvadrerade ett heltal och fick minus på ett ställe, tämligen ovanligt. Korrigerat nu.