Panik Med Gränsvärde!

Hej!

Jag har akut behov av hjälp med följande uppgift:

Beräkna gränsvärdet

lim┬(θ→0)⁡〖(cos⁡θ ln⁡〖(1+θ)〗-sin⁡θ)/(θ sin⁡θ )〗.

Såvitt jag förstår måste jag här algebraiskt göra om uttrycket så att man ser vad som händer med varje term när θ går mot noll.

Jag fastnar vid steget

(cotθ*(ln(1+θ))/θ)-1/θ

kan jag komma längre eller har jag tänkt hel fel?

Tacksam för all hjälp!

Har du provat att Taylorutveckla cos, sin och ln?

nej... osäker hur man gör haha

Utvecklingar:
cos(t) = 1 - t^2/2 + O(t^4)
ln(1+t) = t - t^2/2 + O(t^3)
sin(t) = t - t^3/6 + O(t^5)

Alltså,
cos(t) ln(1+t) - sin(t) = (1 - t^2/2 + O(t^4)) (t - t^2/2 + O(t^3)) - (t - t^3/6 + O(t^5))
= (t - t^2/2 + O(t^3)) - (t - t^3/6 + O(t^5)) = -t^2/2 + O(t^3)
och
t sin(t) = t (t - t^3/6 + O(t^5)) = t^2 + O(t^4)

Därmed blir kvoten
(cos(t) ln(1+t) - sin(t)) / (t sin(t)) = (-t^2/2 + O(t^3)) / (t^2 + O(t^4))
= (-1/2 + O(t)) / (1 + O(t^2)) -> (-1/2) / 1 = -1/2
då t -> 0