största möjliga kvadrat

Hur ska jag tänka när jag ska räkna ut största möjliga summan av kvadraten, från två icke negativa tal som har summan 6

3x3

Edit: Eller måste du bevisa varför det är så med någon sorts allmän formel? Det kan jag inte.

Du vill alltså maximera a² + b² under villkoren att a+b=6 och a,b>=0?

ja

Omöjligt uppgift.

Skojar?

Det ena borde vara 5,9999999999999.....^2 och det andra 0,000000000000000......1^2.

Låter som något slags gränsvärde ska vara inblandat?

Ugh, inte det här igen. Dessutom ska talen vara icke-negativa, så a = 6 och b = 0 går alldeles utmärkt. Du behöver inte slänga på en massa decimaler.

Nu vet jag inte vad för matte du har läst men följande är en metod:

Optimera f(x,y) = x^2 + y^2

med bivilkoret att g(x,y) = x + y -6 = 0 (nivåkurva)

df/dx = 2x, df/dy = 2y dvs en extrempunkt, mini vid (0,0)

Lagrans metod ger 0 = d(f,g)/d(x,y) = 2x -2y = 0 vilket ger
y = x

insättning i ger

g(x,x) = 2x -6 = 0
som ger x=3=y

Du ovan, menar du att 3^2 + 3^2 är större än 6^2?

Den ena variabeln får ju vara 0 och då är det självklart vilket som ger störst värde, eller har jag missat något?

Man kan se det som att man ritar en kvadrat vs två kvadrater.

Produkten av sidan (a+b)*(a+b) kommer alltid vara större än summan av a^2 + b^2 taget att a och b är lika med eller större än noll och att summan är större än noll.

a^2+2ab+b^2 > a^2 + b^2

Tänker jag fel?

Eller det gör jag.

Poängen är att du får störst värde med ena variabeln på 6 och andra på 0.

Kom på att jag gjorde ett fel, man måste givetviss kolla x = 0 och y = 0, då dessa är ränder till mängden man ska optimera på. Därav blir 6^2 störst.

EDIT: Tror det jag skrev inte stämmer summan skall vara exakt 6, därav bör inte x=y=0 kollas. Dock bör 6^2 vara största. Vet inte varför metoden inte fungerade. Blir till att tänka på.

En annan metod kan vara att lösa ut y = 6-x och sätta in i ursprungsekvationen. Då får man en andragradare (?) som man söker största/minsta värdet till. Borde också funka.

Det fungerar bra och är troligtvis det minst overkillsättet. Att blanda in Lagrangemultiplikatorer och annat är bara att använda en kanon mot en fluga.