Hur vet man om det är en maximi- eller minimipunkt?

Ett sätt är att utveckla funktionen kring extrempunkterna och utnyttja kunskaper om vilka typer av termer som dominerar.

Utveckling av den givna funktionen kring extrempunkten x = 1 görs enklast genom att sätta x = t+1, vilket ger y = 2(t+1)^3 - 3(t+1)^2 = 2t^3 + 3t^2 - 1. Har man utvecklat korrekt ska det inte finnas någon term av grad 1. För x mycket nära 1 kommer t att vara mycket nära 0, och då dominerar t^2-termen över termer av högre grad, så grafen kommer där att se ut som y = 3t^2 - 1, dvs vi har ett lokalt minimum.

Utveckling av den givna funktionen kring extrempunkten x = 0 ger y = 2t^3 - 3t^2. Återigen dominerar t^2-termen över termer av högre grad, så grafen ser lokalt ut som y = -3t^2, dvs vi har ett lokalt maximum.

tack för hjälpen!

angående det sista du skrev så ja, du hade rätt. talen 0 och -1 ska istället skrivas in för f(x) istället för f'(x) där 0 för varje nollställe ska vara.

denna metod såg mycket enklare ut för att bedöma om det är funktionen har en maxi- eller minimipunkt.

Det jag inte förstod var vad en dominerande t^2-term menas med. Jag förstår hur du räknat ut men jag hänger inte med på noterna vad som gör t^2 termen dominernade, finns det något fall t^2 termen inte alls kan vara dominernade? hur kan men se det isånnafall?

Att en term dominerar innebär helt enkelt att den är mycket större till beloppet (alltså bortsett från tecken) och alltså har större betydelse för resultatet. I summan 3 + 729736279 är det klart att den senare termen dominerar.


Regler:

1. För t nära noll dominerar termer av lägre grad.
2. För stora t (till beloppet) dominerar termer av högre grad.

Exempel:
Betrakta f(t) = 2 t + 7 t^3

För t = 0,01 får vi f(t) = 2 * 0,01 + 7 * 0,01^3 = 0,020007.
Vi ser att t^3-termen ger ett relativt litet bidrag; huvuddelen kommer från t-termen.
Man inser att ju högre grad termen har, desto mindre blir bidraget för t mycket nära noll.

För t = 100 får vi f(t) = 2 * 100 + 7 * 100^3 = 7000200.
I det här fallet gäller det omvända: t-termen ger ett relativt litet bidrag; huvuddelen kommer från t^3-termen.
Man inser att ju högre grad termen har, desto större blir bidraget för stora t.

När man kollar om det är max eller min så är det väl f(x) man testar sina x-värden på och inte derivatan?

För att få fram värdet så kollar man såklart f(x). Men för att få fram om vad det är för typ av lokal extrempunkt kontrollerar man andraderivatan i derivatans nollpunkter eller derivatans teckenväxling kring derivatans nollpunkter ( dvs teckenschema/teckenstudie ).

För att vara säker på att man funnit en global extrempunkt måste man studera dels studera de värden som f(x) antar i extrempunkterna men även vilka värden f(x) antar i intervallgränserna om det finns såna, eller hur f(x) beter sig när x blir väldigt stort ( både positivt och negativt ).