Matte E, Ekvationer

Tjena!

Satt och repeterade lite ekvationer från Matte E för att fräscha upp minnet men inte... glömt bort det mesta i dessa ekvationer!

Någon som skulle kunna vara gullig att ge mig en förklaring samt lösning på dessa tre så jag kan gå djupare ner och fortsätta vidare?

Tack på förhand!

Uppgift: Lös följande ekvationer:

A) z^2 + 4 = 0

B) z^2 + 2iz + 3 = 0

C) x^3 + 5x^2 + x + 5 = 0 om en rot är -5

C) x^3 + 5x^2 + x + 5 = 0 om en rot är -5

(x^3+5x^2+x+5)/(x+5) = x^2+1 (polynomdivision) och fatkorsatsen som säger att om det finns en rot z till polynom f(x) så är polynomet delbart med (x-z)

x^3+5x^2+x+5=(x^2+1)(x+5)

x^2+1 -> x^2=-1 och med rötterna +- i

Nej, det är det inte. Parenteser!

(x^3+5x^2+x+5)/(x+5) = x^2+1

Förkunskap

1. Z = a+bi
2. i = -1^(1/2) alt. roten ur minus ett.
3. Z^2 = a^2+2abi+(bi)^2 =a^2-b^2+2abi
4. i^n ger: i, -1 ,-i ,1 och sedan upprepas det

A) z^2 + 4 = 0

Utvecklar Z med kvadrat regeln:

a^2+2abi-b^2+4=0
(a^2-b^2+4)+2abi=0

Nu har vi ekvationssystemet:

a^2-b^2+4=0
2abi=0

Som ger a=0 och b=2 alltså Z = 2i, (0+2i)

Vi kan enkelt inse att Z^2+4=0, är som X^2=-4 och då ger 2i men alla problem är ju inte så enkla

B) z^2 + 2iz + 3 = 0


a^2-b^2+2abi+2i(a+bi)+3=0

sortera ekvationen så den står i a+bi form:

(a^2-b^2-2b+3)+(2ab-2a)i=0

realdelen 1; ska vara 0 och imaginärdelen 2; ska vara 0.

1; (a^2-b^2-2b+3)=0

2; (2ab-2a)i=0

a=0 och b=1, Z=i

Vi testar: i^2 + 2i*i + 3 = -1+(-2)+3=0.


C) x^3 + 5x^2 + x + 5 = 0 om en rot är -5

Vi delar ekvationen med (x+5) med "liggandestolen" metoden, får du en andragrads ekvation:

X^2+1=0, denna ekvation kan du lösa på samma sätt som uppgift A.

Nu är det upp till dig att gå igenom uppgifterna med exemplen och gå igenom tankebanorna själv, så att du förstår alla idér som ligger bakom och vilka stag man tar och varför.

A) z^2 + 4 = 0

z^2=-4 => z=sqrt(-4) => z=2i

B) z^2 + 2iz + 3 = 0

PQ-formeln ger att:

z=-2i/2+-sqrt(((2i/2)^2)-3) => då i^2=-1 =>

z=-i+-sqrt(-1-3)=-i+-2i

Svar: z=-3i och z=i

Du verkar ha bättre koll på det här, är mitt svar på B fel? Var några år sedan jag höll på med imaginära tal, men antog att man kan lösa ekvationen direkt med pq-formeln.

Tackar för dem underbara svaren!!

Tack allihopa för visat intresse och att ni tog er tid!

Hoppas jag kommer kunna hjälpa er med något framöver!

Nej.
Det var jag som missade att

(a^2-b^2-2b+3)=0 ->

-b^2-2b+3=0 ger b=1 och b=-3

Det var för att jag gjorde det i huvudet och glömde kolla efter fler lösningar efter att hittat den första.

Okej då hänger jag med.