Fråga om satslogik

Är det alltid så att det gäller en "och" relation mellan premisserna som står ovanför strecket?

Ja och nej. I praktiken är det så. Rent formellt är det inte så. Däremot kan du skapa en och-relation om du har två saker som gäller.

Generellt kan man också säga att man har implikation uppifrån och ner, men ej ekvivalens.

Okej, bra att veta.

Jag hittade denna länken på Wikipedia om Modus tollens:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Modus_tollens

Till höger på den sidan finns det länkar till en samling satslogiska härledningsregler. Min fråga är om dessa regler är allt som satslogiken bygger på? Kan man säga att man behärskar satslogiken om man förstår dem?

Jag tror det, men jag är inte bergsäker.

Det är väl lite konstigt att motsägelsebevis inte finns med på listan till höger?

Du antar att P är sant trots att det inte är en premiss. Det kan du göra för när man bevisar materiell implikation så räcker det att utgå ifrån att P är sant när vi visar P=>Q eftersom implikationen alltid är sann då P är falsk. Det är lätt att glömma av att det är så.

Jävlar vad du fastnade här då.

Jo det är lite konstigt, men det kanske går att härleda ur de andra. Jag vet faktiskt inte säkert.
Om du ska bevisa att en implikation gäller antar man antecedenten och ser om man med detta antagande kan härleda konsekventen. Det är själva metoden för att bevisa implikationer.

Och jo, man kan anta vad man vill, men antaganden har inte samma tyngd som premisser. Det man härleder från ett antagande gäller enbart under förutsättning att antagandet är sant.

Om ett antagande leder till en motsägelse så vet du att antagandet är falskt och kan således säga att motsatsen gäller. Om även negationen av antagandet är falskt är det fel på premisserna.

Om vi tittar lite på mitt första inlägg igen så kan man säga att om vi har:

A: Alla människor är onda. (premiss)
B: Kalle är en människa. (premiss)
-------------------------------------------

Då kan vi överhuvudtaget inte dra någon slutsats i satslogik. Det enda vi kan säga är "A och B" är sant. Är detta korrekt tänkt?

Exakt. När du pysslar med logisk härledning får du inte använda dig av de språkliga formuleringarna bakom bokstäverna i härledningen. Det enda som ska stå när du börjar med härledningen är:

A
B
---


Här ser du ganska snabbt att det inte går att dra någon slutsats. Eller ja, du kan dra slutsatsen (A och B), men inte så mycket mer. I fallet med "om det regnar så blir det blött" hade vi istället följande:

A=>B
A
-----

I den här situationen ser du att man kan dra slutsatsen B. En variant på den är:

A=>B
~B
-----


Här kan vi dra slutsatsen ~A.

Det skulle vara intressant att bevisa ovanstående. Det är precis som att kvantorerna komplicerar till det. Jag tror att den bevisteknik man ska använda sig av är Modus ponens enligt länken:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens

Kanske något i den här stilen:

M(x) : x är en människa
O(x) : x är ond

∀x: M(x)⇒O(x) (premiss)
Det finns x: M(x) (premiss)
Slutsats: Det finns x: O(x)