Vilket är Polynomet?

Hej Flashback!


En liten fråga från mig till er:

"Ett andragradspolynom har sina nollställen i x= - 4 och x = 2. Polynomets minsta värde är -27. Vilket är polynomet?"

Jag har börjat med att stoppa in - 4 och 2 i denna sats: P(x)=(x+4)(x-2) och sedan gissade jag på att man vill ha K-värdet där Y= - 27, alltså där x är - 1.

Gör jag då rätt om jag skriver: -27 = k(-1+4)(-1-2)? (k blir då 3).

Sedan vet jag inte riktigt hur jag ska fortsätta (om jag ens gjort rätt till att börja med )

Tacksam för svar!

/Crejzi

Du börjar bra. Vi har ett polynom som kan skrivas

P(x) = k(x+a)(x+b)

Vi vet att nollställen är x = -4 och x = 2, då antar polynomet värdet 0. Alltså har vi
P(x) = k(x+4)(x-2) = k(x^2-2x+4x-8) = kx^2+2kx-8k
Derivera polynomet
P'(x) = 2kx+2k
P'(x) = 0 => 2kx = -2k <=> x = -1

Vid x = -1 har poylnomet sitt minsta värde, och vi vet att det skall vara -27. P(-1) = -27 leder till att

-27 = k(-1+4)(-1-2) <=> k = 3

Alltså är polynomet
P(x) = 3(x+4)(x-2)

Hur jag hade löst detta (var ett tag sedan jag räknade med detta så det kanske inte är som det är tänkt att man ska lösa det. Reserverar för eventuella fel )

(x+4)(x-2) : kan skrivas som

x^2-2x+4x-8 : förenkla till

x^2 + 2x -8 + k : där k är en konstant

Om man redan har erfarenhet vet man att vändpunkten ligger för x=-1 (2x -> ger vändpunkt i x=-1, hade det varit t.ex. x^2-6x... så ges vändpunkt i x=3 osv...), detta kan även fås genom derivata

Och eftersom x^2 termen är positiv vet vi att vändpunkten är ett minimum (glad gubbe)

Därmed ska vi sätta x^2 + 2x - 8 + k = -27

Sätt in att x = -1 och vi får

1 - 2 - 8 + k = -27

k -9 = -27

k = -18

Svar: y = x^2 + 2x -26

Tackar för svar, men nu fick jag lite olika bud

C^2, är det nödvändigt att derivera och hålla på? Jag vet redan andragradsekvationen har sitt minsta värde där x= - 1 och y = -27 vilket gör att jag lätt kan få fram lutningen i den punkten, dvs 3.

alltså: p(x)= 3(x+4)(x-2), vilket då också skulle vara svaret.

Lutningen i den punkten är inte 3, den är 0. Men iaf så, nej det är inte nödvändigt i detta fall. Man kan m.h.a. symmetri hos andragradaren räkna fram att min ligger mitt emellan -4 och 2, dvs x = -1.

Så "K" i satsen betyder "Konstant", inte lutning?

Ja, k i polynomet vi har diskuterat betyder inte lutning. Lutningen efter kurvan varierar beroende på var på kurvan vi befinner oss. Det är alltså en konstant.

Tack!