Kaos, hjälp med taylor/maclaurin

Hej,

Någon som vet vilken funktion denna serie motsvarar?

1 + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3 +...1/x^N

där N går mot oändligheten

Nvm, jag löste den

Lägger in svaret även om du löste den...

1 + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + ... + 1/x^N = { t = 1/x }
= 1 + t + t^2 + t^3 + ... + t^N = { geometrisk summa }
= (1 - t^(N+1)) / (1 - t) = { t = 1/x }
= (1 - 1/x^(N+1)) / (1 - 1/x) = { förläng med x }
= x (1 - 1/x^(N+1)) / (x - 1)

Då N → ∞ får vi för |x| > 1 gränsvärdet x / (x - 1), medan |x| ≤ 1 ger divergens.

Aa det var bara så, fixa det till en geometrisk summa.

Dock så blir den:

(t^(N+1) - 1)/(t-1)

->

((1/x)^(N+1) - 1) / ((1/x) - 1)

Då N → ∞ får vi för |x| > 1 gränsvärdet -1/((1/x) - 1), medans |x| < 1 ger divergens.
x = 1 tror jag är odefinierat.

Vilket är samma som jag skrev, om du bara tänker efter litet...



Allt som inte är konvergens kallas divergens när det gäller gränsvärden. Det krävs inte att beloppet växer obegränsat. Även följden 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... kallas divergent.

Just det, my bad.

Ok, men jag tänkte att när x = 1 så blir det "0/0" vilket brukar klassas som odefinierat? Kallas det ändå divergens?

Blanda inte ihop serien med värdet (uttrycket) den har då den konvergerar! Konvergensen skall bedömas på serien, inte på uttrycket!

Exempel:
För |t| < 1 gäller att serien 1 + t + t^2 + t^3 + ... konvergerar och har värdet 1/(1-t).
För t = 2 är uttrycket 1/(1-t) fortfarande definierat (med värde -1), men serien är divergent.

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator