solving the initial value problem (IVP)

Här är uppgiften samt min lösning

http://www.pluggakuten.se/wiki/images/2/22/Ivp1.PNG

Du gör fel mellan steg 3 och 4, e^(-2ln(t))*t är inte lika med e^(-2)*t^2. Sätt minustvåan utanför så att det står t*(e^ln(t))^(-2), då ser man att eftersomatt e och ln tar ut varandra, står det t*(t)^(-2) som blir t.

Blir det inte 1/t ?

Jo, sorry, typo.

x'(t) - 2/t x(t) = t, x(1)=2

Sök en integrerande faktor, dvs e^(primitiv av (-2/t)).

En primitiv till 1/t är ju ln(t) då t>0, så vår integrerande faktor blir

e^(-2 ln(t)) = e^(-ln(t^2)) = e^(ln(1/t^2)) = 1/t^2.

Multiplicera ekvationen med integrerande faktorn

1/t^2 x'(t) -2/t^3 x(t) = 1/t

VL är nu derivatan av en produkt,

1/t^2 x'(t) -2/t^3 x(t) = d/dt (x(t)*1/t^2) = 1/t

Integrera båda sidor

x(t) * 1/t^2 = ln(t) + C

x(t) = t^2 (ln(t) + C)

Begynnelsevärdet ger

2 = x(1) = ln(1) + C = C.

Lösningen blir

x(t) = t^2 (ln(t) + 2)

Raderad

Varför försvinner termen 2/t^3 x(t) efter integreringen?

Termen försvinner innan man integrerar, när man identifierar vänsterledet som derivatan av en produkt.

Efter multiplikation med den integrerande faktorn hade vi

1/t^2 x'(t) - 2/t^3 x(t) = 1/t.

Det som gör den integrerande faktor som ett så bra knep är att vänsterledet nu alltid kan skrivas som derivatan av en produkt. Produktregeln lyder ju

d/dt (f(t)*g(t)) = f'(t)g(t)+f(t)g'(t).

I detta fallet ska du se det som att f(t) = x(t), och g(t) = 1/t^2. Testa att derivera produkten för hand så ser du att det blir rätt. Man använder alltså produktregeln baklänges.