Lösning till en enkel integral

Hej alla fysik och matematik-fantaster.

Hittade följande bevis för Wiener-Khintchine teoremet. Det är ju nice att ha ett bevis som binder ihop en variabels autokorrelation med dess spektrala egenskaper.

http://www.ee2.caltech.edu/Faculty/b...handout_wk.pdf

I alla fall så har vi följande stycke, pdfen har bättre nomenklatur:


Detta borde ju inte vara så svårt. Försökte med variabelsubstitution följt av partialintegration i vild förhoppning om att det ska falla ut. Men icke. Kan bero på att jag är dum i skallen förvisso.

Lösning skulle uppskattas. Finns det nån annan metod som ger svaret?

Substitution borde vara rätt väg att gå:
[; s = t + \tau, \quad \sigma = t - \tau ;]

Detta ger att integrationsområdet blir romben med hörn i
[; (\sigma, s) = (-T, 0), (0, T), (T, 0), (0, -T) ;]

Detta område kan skrivas
[; -T \leq \sigma \leq T, \quad -T + |\sigma| \leq s \leq T - |\sigma| ;]

Jacobianen blir
[; \frac{\partial(t, \tau)}{\partia(s, \sigma)} = 1/2 ;]

Integralen blir därmed
[;
I = \int_{-T/2}^{T/2} \int_{-T/2}^{T/2} f(t-\tau) \,dt \,d\tau
= \int_{-T}^{T} \int_{-T + |\sigma|}^{T - |\sigma|} f(\sigma) \, (1/2) \,ds \,d\sigma
= (1/2) \int_{-T}^{T} f(\sigma) \int_{-T + |\sigma|}^{T - |\sigma|} \,ds \,d\sigma
;]

Den inre integralen blir
[;
\int_{-T + |\sigma|}^{T - |\sigma|} ds = 2 (T - |\sigma|)
;]

Hela integralen blir därför
[;
I
= (1/2) \int_{-T}^{T} f(\sigma) 2 (T - |\sigma|) \,d\sigma
= \int_{-T}^{T} f(\sigma) (T - |\sigma|) \,d\sigma
;]

Där ser man.

Tackar!