Ma 3c: Extremvärden

Hej,

Skulle behöva hjälp med denna uppgift.

"Anna ska skära till rektangulära skrivpapper. Hon vill att skrivytan ska vara 216 cm² och att marginalen upptill och nedtill ska vara 2 cm breda samt att båda sidomarginalerna ska vara 3 cm. Bestäm längden på det minsta möjliga pappersark som uppfyller kraven."

Någon som vet hur jag ska göra för att lösa den? Det jag vet är att jag ska försöka först komma på något samband.

Tacksam för all hjälp!

Låt arkets bredd vara x cm och dess höjd vara y cm.
Då är skrivytans bredd (x-2*3) cm och skrivytans höjd (y-2*2) cm.
Skrivytans area är alltså (x-6)(y-4) cm². Denna skall vara 216 cm². Alltså, (x-6)(y-4) = 216.
Under detta villkor skall vi minimera hela pappersarkets area som förstås är A = xy cm².

Ur villkoret (x-6)(y-4) = 216 kan du lösa ut y som ett uttryck i x och sätta in detta i uttrycket för A så att du får A uttryckt i endast x. Därefter kan du enkelt minimera A genom att sätta derivatan lika med noll.

Hon vill ha en rektangel, alltså är två av sidorna a och de andra b. Vi vet också att arean av rektangeln, som ges av a*b, ska vara 216 cm^2. På grund av hennes krav på marginal blir då totala arean av hennes figur ett något annorlunda uttryck, se om du kan få fram det. Vet du hur du går vidare sen?

Okej tack så mycket! Men har fastnat på detta.

När jag ska sätta in y=216(x-6)+4 i A=x*y så får jag det här: x(216/(x-6)+4). Hur ska man göra för att förenkla det uttrycket? Har väldigt svårt för att förenkla uttryck där det är division och speciellt nu x-6 i nämnaren.

A = x(216/(x-6)+4) = 216x/(x-6) + 4x = 216x/(x-6) + 4x(x-6)/(x-6) = (216x+4x(x-6))/(x-6)
= (216x+4x^2-24x)/(x-6) = (192x+4x^2)/(x-6)
Detta kan deriveras med kvotregeln (u/v)' = (u'v-uv')/v^2.

Vi har inte lärt oss kvotregeln än så kan inte använda den. Finns det något annat sätt att lösa det på?