uppgift med determinanter

Låt u,v,w vara de tre kolonnerna i en 3x3-matris A. Determinanten till matrisenA kan då betraktas som en funktion av u,v,w. Antag att det(u,v,w)= det(A)=3 . Bestäm det(V+7W, W+5U, U+3V).

jag vet att jag kan tex göra om så att det(V+7W, W+5U, U+3V)=det(V, W+5U, U+3V)+det(7W, W+5U, U+3V) osv. men jag vet inte vad jag ska göra utav det. plx help

Determinanten är linjär i var och en av kolonnerna för sig:
det(x1+x2, y, z) = det(x1, y, z) + det(x2, y, z)
det(cx, y, z) = c det(x, y, z)
och motsvarande för övriga kolonner.

Alltså,
det(v+7w, w+5u, u+3v) = det(v, w+5u, u+3v) + 7 det(w, w+5u, u+3v)
= (det(v, w, u+3v) + 5 det(v, u, u+3v)) + 7 (det(w, w, u+3v) + 5 det(w, u, u+3v))
= ((det(v, w, u) + 3 det(v, w, v)) + 5 (det(v, u, u) + 3 det(v, u, v)))
+ 7 ((det(w, w, u) + 3 det(w, w, v)) + 5 (det(w, u, u) + 3 det(w, u, v)))


Sedan gäller antisymmetri:
det(u, v, w) = -det(v, u, w) = det(v, w, u) = -det(w, v, u) = det(w, u, v) = -det(u, w, v)
som medför att det(x, y, z) = 0 om x = y eller x = z eller y = z.

Alltså,
((det(v, w, u) + 3 det(v, w, v)) + 5 (det(v, u, u) + 3 det(v, u, v)))
+ 7 ((det(w, w, u) + 3 det(w, w, v)) + 5 (det(w, u, u) + 3 det(w, u, v)))
= ((det(u, v, w) + 3 * 0) + 5 (0 + 3 * 0))
+ 7 ((0 + 3 * 0) + 5 (0 + 3 * det(u, v, w)))
= det(u, v, w) + 15 det(u, v, w)
= 16 det(u, v, w)
= 16 * 3
= 48

tack! Låter rätt men 48 är fel svar :/

Jag får att

det(v + 7w, w + 5u, u + 3v) =

det(v, w, u) +
det(v, w, 3v) +
det(v, 5u, u) +
det(v, 5u, 3v) +
det(7w, w, u) +
det(7w, w, 3v) +
det(7w, 5u, u) +
det(7w, 5u, 3v)

= det(v, w, u) + det(7w, 5u, 3v) = det(u, v, w) + 105det(u, v, w) = 106det(u, v, w) = 318.

Jag missade att ta med en faktor 7. Vi skall ha 7*5*3 = 105 i stället för 5*3 = 15.

I stället för
= det(u, v, w) + 15 det(u, v, w)
blir det
= det(u, v, w) + 105 det(u, v, w)

Detta ger
= 3 + 105 * 3 = 318.

Vad kallas den här satsen?

Vilken sats? Syftar du på det att det(cA) = c^n det(A) om A är en nxn-matris?

haha ingen aning. tänkte att det fanns en sats som man kunde använda sig av