2013-03-13, 19:37
#1
Ska börja med att säga att det var en som fått denna fråga på en anställningsintervju, och då han inte kunde svaret själv frågande han den i ett annat forum. Men ingen hade något bra svar förutom att köra något monte carlo-simulering (eller dylikt). Dock kanske detta var svaret, det vet jag inte.
Försöker beräkna E[F(X+a)] där X är N(0,sigma) (eller N(0,sigma^2) beroende på hur man vill skriva det) och a konstant. Rent intuitivt borde, för a=0, det bli 1/2 eftersom X är symmetrisk kring 0. Men hur visar vi det samt vad blir det då a är skilt från 0.
Så om vi börjar med fallet då a=0, så först försökte jag tänka ut vad F_X(X) faktiskt betyder, P(X =< X)? Känns ju inte helt rätt då detta alltid kommer vara lika med ett. Så jag antog att man kunde införa två nya r.v. X_1, X_2 med samma fördelning som X. Då får vi istället F_(X_1)(X_2) = P(X_1 =< X_2) = P(X_1 - X_2 =< 0) = {X_1 - X_2 = X_3 är N(0,2sigma^2) (eller N(0,sqrt(2)sigma))} = P(X_3 =< 0), alltså kumulativa fördelningsfunktionen (heter det så på svenska..?) i 0, F_(X_3)(0).
Skulle vi ha fallet a != 0 får vi p.s.s. P(X_3 =< a), som då är F_(X_3)(a).
För att se om svaret 'stämmer' testa jag simulera detta i matlab.
Men det verkar som att detta endast stämmer för a != 0 då sigma = 1... någon som kan förklara vad som blir fel i min lösning?
Förresten, varför inför man inte LaTeX eller liknande här på flashback.. hade underlättat en hel del.
Försöker beräkna E[F(X+a)] där X är N(0,sigma) (eller N(0,sigma^2) beroende på hur man vill skriva det) och a konstant. Rent intuitivt borde, för a=0, det bli 1/2 eftersom X är symmetrisk kring 0. Men hur visar vi det samt vad blir det då a är skilt från 0.
Så om vi börjar med fallet då a=0, så först försökte jag tänka ut vad F_X(X) faktiskt betyder, P(X =< X)? Känns ju inte helt rätt då detta alltid kommer vara lika med ett. Så jag antog att man kunde införa två nya r.v. X_1, X_2 med samma fördelning som X. Då får vi istället F_(X_1)(X_2) = P(X_1 =< X_2) = P(X_1 - X_2 =< 0) = {X_1 - X_2 = X_3 är N(0,2sigma^2) (eller N(0,sqrt(2)sigma))} = P(X_3 =< 0), alltså kumulativa fördelningsfunktionen (heter det så på svenska..?) i 0, F_(X_3)(0).
Skulle vi ha fallet a != 0 får vi p.s.s. P(X_3 =< a), som då är F_(X_3)(a).
För att se om svaret 'stämmer' testa jag simulera detta i matlab.
Men det verkar som att detta endast stämmer för a != 0 då sigma = 1... någon som kan förklara vad som blir fel i min lösning?
Kod:
sigma = 1;
n = 50000;
X = zeros(1,n);
a=2;
for i=1:n;
X(1,i) = normcdf(normrnd(0,1)+a,0,sigma);
end
mean(X)
normcdf(a,0,sqrt(2)*sigma)
Förresten, varför inför man inte LaTeX eller liknande här på flashback.. hade underlättat en hel del.
Då verkar det ju som det stämmer trots allt, trodde det var en sammanträffande att det funkade för sigma=1. 