Komplexa egenvärden.

Om dom är, som du skrev, linjärt oberoende så är de mig veterligen också ortogonala mot varandra.
Nu var det något år sedan jag läste linjär algebra och det var på teknisk fakultet, så det skiljer sig lite från din kurs. Men sådana här saker borde vara samma.

Vad får du för svar om du använder gram-schmidt metoden?

Som jag kommer ihåg det när vi räknade på det så plockade vi fram egenvektorerna, normerade och vips så hade vi en ON-bas

Det stämmer tyvärr inte. Tillräckligt många oberoende vektorer räcker för en bas, men inte för en ON-bas. Tänk t.ex.

(1,0) och (1,1)/sqrt(2)

som är två normerade vektorer som utgör en bas för ett plan, men de är inte ortogonala mot varandra. Enligt Gram-Schmidt ska man då projicera den ena vektorn på den andra (lämpligast här vektor 2 på vektor 1) och "plocka bort" den parallella delen.

I det här fallet borde det dock vara onödigt. Är du helt säker på att den sista vektorn verkligen är en egenvektor till matrisen? Om jag inte minns helt fel ska de olika egenrummen vara ortogonala mot vandra.

Nja, om det är en normal matris utgör egenvektorerna en ON-bas, nu hade han bara tre egenvektorer.


Kör Gram-Scmidt. Du vill att (u1, u2, u3) ska bli en ON-bas utifrån de vektorerna du har. Bara att följa proceduren:

u1 = v1

u2 = v2 - <v2,u1>/|u1|² * u1

u3 = v3 - <v3,u1>/|u1|² * u1 - <v3,u2>/|u2|² * u2

Glöm inte att multiplicera med komplexa konjugatet vid skalärprodukten. Alltså definitionen av skalärprodukt för komplexa vektorer.

Ja det är lite där som det hela blir fel. Skulle du kunna visa ur uträkningen blir för u2?

Du förstår första steget av Gram-Schmidt processen, att u_1=v_1?

Andra steget är att hitta vektorn u_2' vilken är ortogonal mot u_1 vilket du gör på följande sätt:

u_2'=v_2 - (Proj V_2 under underrummmet U_1 genererat av u_1) vilket är
detsamma som att u_2'=v_2 -(v_2|u_1)u_1

Normalisera sedan den ortogonala vektorn u_2', alltså u_2= (1/(u_2'|u_2'))u_2'

u2 = v2 - <v2,u1>/|u1|² * u1

= (1,1,i) - <(1,1,i), (1,i,1)> / (|1|² + |i|² + |1|²) * (1,i,1)

= (1,1,i) - ((1 + 1(-i) + i))/3 * (1,i,1)

= (1,1,i) - 1/3 * (1,i,1)

= (2/3, 1 - i/3, -1/3 + i)

en snabb koll ger att <u1,u2> = u2' * u1 = 0. Här är alltså u2' komplexa konjugatet, kanske det som krånglar för dig men det är bara kolla på definitionen för inre produkt på ℂ så ser du att det fungerar

Normera vektorerna sen men det visste du nog redan.