Vektorer: oregelbunden fyrhörning med origoskifte

Låt ABCD vara en oregelbunden fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och AB och AD till basvekorer får C koordinaterna (2,3) Vilka koordinater får A om C väljs till origo och CB och CD till basvektorer?

Hur löser man denna? Har tänk ett tag nu men inte kommit på något bra..

AB+CB=AD+CD=AC är i alla fall sant, men sedan vet jag inte hur jag ska använda det

Om vi betraktar A, B, C, D som positionsvektorer säger påståendet att C-A = 2(B-A) + 3(D-A).
Du skall nu finna x och y så att A-C = x(B-C) + y(D-C).

(1) CA = 2(BA) + 3(DA)

(2) AC = x(BC) + y(DC)

Håller med om dom två, men vet inte riktigt hur jag ska fortsätta, gjorde om (1) såhär

-CA= -(2BA+3DA) => AC=3DA-2BA

och satte den lika med (2)

(3) 3DA-2BA = x(BC) + y(DC)

sedan tänkte jag att eftersom

BC-BA = AC => BA= BC - AC

DC-DA = AC => DA= DC - AC

kan man byta ut BA och DA i (3) för att få det enklare:

3(DC - AC)-2(BC - AC) = x(BC) + y(DC)

= 3DC - AC - 2BC = x(BC) + y(DC)

Är jag på rätt väg? Vetinte hur jag ska fortsätta

Du vet att

(1) AC = 2AB + 3AD
(2) AC = AB + BC
(3) AC = AD + DC

Om vi kombinerar dessa ekvationer samt vänder på vektorerna får vi ekvationssystemet

(4) 2BA + 2DA = CD
(5) BA + 3DA = CB

Detta system har lösningen

(6) BA = -1/2 CB + 3/4 CD
(7) DA = 1/2 CB - 1/4 CD

Vänder vi på (1) får vi

CA = 2BA + 3DA = ... = 1/2 CB + 3/4 CD, dvs vektorn CA får koordinaterna (1/2; 3/4) i detta koordinatsystem.

tackar, nu förstår jag