Härled derivata.

Frågeställningen lyder:

"Härled formeln för derivatan av sin(x), arcsin(x), e^(x) och ln(x). Formeln sin(a)-sin(b) = 2sin((a-b)/2)cos((a+b)/2) får användas utan bevis"

Är det någon som kan hjälpa till? Har problem med samtliga, försökte att härleda derivatorna med derivatans definition men insåg att det blev för svårt.

Någon?

f´(x) = lim[h->0] ( f(x+h) - f(x) )/h

f(x) = sin(x):

sin(x+h) - sin(x) = 2 sin(½(x+h-x)) cos(½(x+h+x)) =
= 2sin(½h) cos(x+½h).

Alltså,

(sin(x+h) - sin(x))/h = (2sin(½h)/h) * cos(x+½h) =
= (sin(½h)/½h) * cos(x+½h) -> 1 * cos(x) ... då h->0.

Vi har alltså här utnyttjat standardgränsvärdet lim[x->0] (sin(x))/x = 1.

Tackar. De andra är lösta. Har du tips för arcsin(x)?

y=arcsin(x)

x=sin(y), -pi/2<y<pi/2

d/dx x = d/dx sin(y)
1=d/dy (sin y)*(dy/dx) (kedjeregeln)
1=(cos y)*(dy/dx)
dy/dx=1/cos y

-pi/2<y<pi/2 => cos y>0 => cos y=sqrt(1-sin²y) (Vi struntar alltså i cos y = - sqrt(1-sin²y)
x=sin y => cos y = sqrt(1-x²)

dy/dx=cos y => dy/dx=1/sqrt(1-x²)