komplexa tal

hej hej!
har problem med några frågor jag inte kommer någon vart med:
1. Ekvationen x^4-8x^3-7x^2+84x+180=0 har en dubbelrot som hör till talmängden N. Lös ekvationen fullständigt, där började med att försöka få fram ekvationen till 0 genom att prova med x=0,1,2,3,4,5 men kom inte fram till något och där tog min fantasi slut

2. Visa algebraiskt att Im z≠0 då z^2+2az+a+2=0 och -1< a <2

3. Visa hur man i det komplexa talplanet kan utföra följande beräkningar, genom att låta de komplexa talen representeras av vektorer.
a) (3+2i)+(1-i)
b) (3+2i)-(1-i)
här förstår jag inte helt vad de frågar efter, vill de att jag ska rita upp i de komplexa talplanet eller vad ska jag göra?

tack på förhand

Den har en rot vid x=6

Du är på rätt spår, men slutade precis innan. Om du sätter x = 6 har du en lösning på ekvationen. Givet är att det är en dubbelrot. Alltså kan vi faktorisera ut (x-6)(x-6) = x^2-12x+36 ifrån polynomet x^4-8x^3-7x^2+84x+180.

Nu tror jag du kanske fixar resten själv med polynomdivision.



z^2+2az+a+2 = 0
Kvadratkomplettera
(z+a)^2+a+2 = a^2
(z+a)^2 = a^2-a-2 = (a-1/2)^2-9/4 = (a-1/2)^2-(3/2)^2 = (a+1)(a-2)
Alltså:
(z+a)^2 = (a+1)(a-2)

Observera nu att om Im(z) = 0, betyder det att vi endast har en realdel på vårat komplexa tal. Med andra ord, talet är helt enkelt reellt. Om vi nu kikar på vad som händer då -1< a <2 ser vi att högerledet alltid kommer vara ett negativt (reellt) tal.

Tittar vi på vänstra ledet finner vi att vi har en kvadrat, och för reella tal gäller alltid >=0. Men om talet z+a inte är reellt, dvs att Im(z) =/= 0 så kan vi ändå lösa ekvationen.



Rita upp punkterna i form av vektorer som du adderar i det komplexa talplanet. Rita upp 3+2i och sedan 1-i, addera dessa två vektorer.

fan då det var ju just typiskt

har du nå tips på de övriga?

?

Jag kan ge ett tips som en här på forumet lärde mig. Det är en sats som heter rationella rotsatsen.

Låt P(x) vara ett polynom av grad n, dvs P(x)=a_n*x^n+a_n-1*x^(n-1) + ... + a_1*x + a_0, sådant att a_n och a_0 inte är lika med noll.

OM det finns en rot som kan skrivas som ett bråk (även heltal alltså) så finns det ett begränsat antal sätt denna kan skrivas på.

Dela upp a_0 och a_n i primtalsfaktorer.

Roten kan (om det finns en rationell sådan) skrivas som p/q där p är en kombination av primtalsfaktorerna i a_0 och q en kombination av primtalsfaktorerna i a_n. (Tänk på att testa både positivt och negativt)

För att titta på ditt exempel så har vi a_n=1 och a_0=180. a_n kan vi inte dela upp, men a_0=180=1*2*2*3*3*5. Av dessa primfaktorer kan vi bilda talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 30, 45, 90 och 180, och eftersom a_n var lika med ett finns det bara dessa möjligheter. Ja, som sagt kan du behöva testa med de negativa också.

Varför? Ledningen ger ju att vi har en rot med multiplicitet 2 i N? Varför ska man leta efter en rationell rot när vi redan fått det genom ledningen?

Alla naturliga tal är även rationella tal, och i det här specifika fallet där a_n=1 och där a_0 är ett heltal så är det även så att alla eventuella rationella rötter även är heltal. Och eftersom roten låg i N behöver vi som du säger inte testa negativa tal. Jag uttryckte mig lite otydligt.

ok tack så mycket för all er hjälp.
är inte säker på att jag fortfarande fattat det där med fråga nummer 3. mina mattekunskaper är lite dammiga, de vill alltså inte att jag ska göra så här?
a) (3+2i)+(1-i)= 3+2i+1-i=4+i
b) (3+2i)-(1-i)= 3+2i-1+i=2+3i

Jo det vill dom, men av frågan får jag bilden av att dom vill att du ska rita ett komplext talplan, där alltså den reella axeln motsvarar x-axeln, och imaginära axeln är y-axeln. Där du sen ritar in en vektor 3+2i i talplanet, och även en vektir 1-i. Sedan adderar du dessa två vektorer till varandra i talplanet.

ok tack visste bara inte vilken del av talet som jag skulle rita ut, nu fattar jag