Transformera den partiella differentialekvationen.

Behöver lite hjälp med följande uppgift, bara den sista biten:

Vi har (a^(2) + b^(2))(df/du) + 2(ac + bd)(df/dvdu) + (c^(2) + d^(2))(df/dv) = 0

(df/du) och (df/dv) är andraderivatan av f med avseende på v och u, det är alltså inte den partiella förstaderivatan. Jag hittade inget lämpligt sätt att skriva det på.

Vi ska avgöra för vilka värden på (a,b,c,d) om några som den givna differentialekvationen blir ekvivalent med differentialekvationen:

(df/du) + (df/dv) = 0

Där alltså (df/dv) och (df/du) återigen är andraderivatan av f med avseende på u respektive v.

Försökte naivt lösa ekvationensystemet:

c^(2) + d^(2) = 1
2(ac + bd) = 0
a^(2) + b^(2) = 1

Men det blev bara väldigt konstigt. Någon som kan hjälpa till?

Att lösa det där är inte så svårt.

Likheten c² + d² = 1 innebär att det finns en vinkel u så att c = cos(u), d = sin(u).
På samma sätt finns en vinkel v så att a = cos(v), b = sin(v).
Insatt i den "mittre" ekvationen ger detta att vi skall ha 2(cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v)) = 0, vilket vi kan skriva om som cos(u-v) = 0. Denna ekvation kan du säkerligen lösa.

Tack. Har en generaliserad integral ja skulle behöva hjälp med om du har tid. Startade ny tråd.

Man kan för övrigt skriva differentialekvationen som (D·D)f = 0, där D = (a,b) ∂/∂u + (c,d) ∂/∂v.