polynom

hej jag behöver hjälp att bevisa följande:
1. att polynomet (a^n+2 dvs 2an är upphöjd precis som n:et)-a^n är jämnt delbart med (a+1) och (a-1) då a inte är lika med +/-1

2. skulle jag behöva bevisa att arean i en kvadrat, inskriven i en cirkel, är hälften av arean i den kvadrat som omskriver samma cirkel, något tips på hur?

tack på förhand

känns som induktion ligger nära till hands att använda

Nä, det står inte att a måste vara ett naturligt tal. Inte ens ett heltal.

Edit: För övrigt skrivs det helt enkelt a^(n+2).

Edit2: Och ja, då har du alltså polynomet a^(n+2) - a^n = a^n * (a^2 - 1) = a^n * (a - 1) * (a + 1) så polynomet är delbart med de två. Om a = ±1 så är a^(n+2) - a^n = 0.

Omskrivningen a^(n+2) - a^n = (a^n * a^2 - a^n) = a^n (a^2 - 1) = a^n (a + 1) (a - 1) ger direkt att a^(n+2) - a^n är jämnt delbart med både a + 1 och a - 1.

ok tack så jättemycket

något tips på nästa problem: bevisa att arean i en kvadrat, inskriven i en cirkel, är hälften av arean i den kvadrat som omskriver samma cirkel, något tips på hur?

För den inskrivna kvadraten gäller att dess diagonal är lika med cirkelns diameter d.
Kvadratens sida a_inskriven är därmed a_inskriven = d/√2.
Kvadratens area är alltså A_inskriven = a_inskriven² = d²/2.

För den omskrivna kvadraten gäller att dess sida är lika med cirkelns diameter d.
Kvadratens area är alltså A_omskriven = a_omskriven² = d².

Vi ser att A_inskriven / A_omskriven = (d²/2) / (d²) = 1/2.

Jag löste uppgiften med kvadraten på följande sätt:

Drar du en diagonal från ett hörn till ett annat i den inre kvadraten så ser man att denna diagonalen är lika med cirkelns diameter (detta ser man direkt från figuren). Vi kallar cirkelns diameter för "D". Vi ser också att diametern är lika med den stora kvadratens sida. Alltså är arean för den stora kvadraten lika med D^2.

Tillbaka till den inre kvadraten. När vi dragit diagonalen genom den inre kvadraten så har vi delat upp kvadraten i två rätvinkliga trianglar. Där hypotenusan = D, och de två kateterna = X (Detta eftersom alla sidor i en kvadrat är lika långa)

Med pythagoras sats får vi således:

D^2 = X^2 + X^2 = 2X^2.

Vi delar nu höger och vänster led med två och får att:

D^2/2 = X^2. Vilket var det som skulle visas.

Eller?