problem kring kvadratkomplettering

Låt säga att jag har en funktion Q som beror av två variabler x,y där Q definieras som

Q(x,y)=12x^2 - 8xy + 12y^2

Denna funktion har då ett ända minimum då y=x=0 vars funktionsvärde blir Q(0,0)=0
Alltså ska alla andra värden på x,y resultera i ett svar större än 0.

jag kan också skriva om funktionen med hjälp av kvadratkomplettering till följande uttryck

Q(x,y)= (x-4y)^2 + 11x^2 -4y^2

Men om jag då tex beräknar funktionsvärdet i punkten (1,2) får jag Q(1,2)=-4

Jag kontrollera att kompletteringen var korrekt för hand tre gånger under detta inlägg och jag plota även funktionen på de två olika sätt i ett program och som då visade exakt samma graf.

Jag är ytterst nyfiken på varför jag får ett negativt funktionsvärde då jag endast kvadratkompletterar funktionensuttrycket!
Någon som har ett bra svar på detta märkliga beteende?

Q(1,2) för båda funktionerna blir 44.

De är exakt likadana. Inga konstigheter här tror jag.

Q(x,y) = 12x^2 - 8xy + 12y^2 =
Q(x,y) = 12(x^2 - 8xy/12 + y^2) =
Q(x,y) = 12((x - 8y/24)^2 - (8y/24)^2 + y^2)
Q(x,y) = 12((x - y/3)^2 - (y/3)^2 + y^2) =
Q(x,y) = 12((x - y/3)^2 - y^2/9 + y^2) =
Q(x,y) = 12((x - y/3)^2 - y^2/9 + 9y^2/9) =
Q(x,y) = 12((x - y/3)^2 + 8y^2/9) =
Q(x,y) = 12(x - y/3)^2 + 32y^2/3

Q(1,2) = 12(x - y/3)^2 + 32y^2/3 = 44

Det där gjorde du krångligt tycker jag.
Q(x,y) = 12x^2 - 8xy + 12y^2 =
Q(x,y) = 12(x^2+y^2) - 8xy

Q(1,2) = 12(1^2+2^2) - 8*1*2 = 44

Ah! Mitt ursprungliga problem! Jag skulle säga att den är positiv definit då Q kommer vara positiv för alla värden på (x,y) != (0,0) (!= utläses "skilt från")

Så som jag har uppfattat uppgifter som dessa då man ska analysera en extrempunkt mha kvadratiska formen tillsammans med funktionens andraderivator, så ska man omvandla uttrycket så att variablerna uttrycks i kvadrater och sedan studera de tecken som befinner sig framför de kvarderade uttrycken (Med undantag i parenteser då variablerna inte behöver vara kvaderade). Men om vi ser på mitt första uttryck

Q(x,y) = 12x^2 - 8xy + 12y^2

och sedan kvadratkompletterar till mitt andra,

Q(x,y) = (x-4y)^2 + 11x^2 - 4y^2

så vill jag dra slutsatsen att det är indefinit just pga de minustecken som hamnar framför den sista termen "4y^2" men egentligen så är den positivt definit.
Ser man på scheutzs slutliga uttryck

Q(x,y) = 12(x - y/3)^2 + 32y^2/3

Så skulle jag då dra slutsatsen att Q är positivt definit

Alltså är mitt sätt att se på funktion och dra slutsatser fel då jag kan dra två helt olika slutsatser med samma uttryck. Hur är det då man ska avgöra om Q är pos/neg definit, indefinit eller pos/neg semidefinit?

PS: Kan ju också vara så att jag har missuppfattat det helt gällande den kvadratiska formen och dess tillämpningar

Hej.

Jag håller på med matematik 2c. Följande uppgift är röd och svaret skall vara 1.5 exakt, enligt Wolfram. Men jag får inte ut något annat svar än 1.48. Någon duktig som känner för att visa hur man gör?

http://www.wolframalpha.com/input/?i...%29%29%3Dx%2B2

Jag tänkte: Kvadrera och ta bort en rot först. Då kan man ta bort xet. Då har man kvar 20x+70 = 16x^2 + 16 när man kvadrerar bort en till rottal. Men därifrån går det inte! Delar på 16 och får fram massa tal här. Men det blir aldrig 1.5.

Tack för svar!

Vänliga hälsningar Seb

Tjena. Sitter på iPad så la upp en PDF som svar. För jobbigt att skriva på.

http://www.filedropper.com/flashback

Lösningen är där på!
mvh

Tack så jättemycket för hjälpen. Jag förstår det nu som att om man har två rottecken så måste man lägga till en extra term? Jag förstod inte vart =4 kom ifrån men jag tror jag förstår det nu. Är det så att när man har just två rottecken så måste man gångra dubbelt så mycket andra gången man kvadrerar? Finns det någon sida på internet man kan läsa på om detta eller?

Vänliga hälsningar, Sebbe

Lugnt. Nja, alltså du kvadrerar ju två gånger. Jag kan gå igenom hur jag gjorde igen

Först kvadrerade jag båda sidor.
Vecklade ut (x+2)^2 och fann att jag hade x^2 på båda sidor
Subtraherade med x^2 på båda sidor. och kvar var sqrt(20x+70) = 4x +4 (den extra fyran ska inte vara med. tror jag tänkte bryta ut den först)
sedan kvadrerar jag igen
flyttar över alla termer på ena sidan och får ..... = 0
PQ-formeln på det och sedan klart.

Har du en rot kvadrerar man ju vilket du tänkt från början. Blir det sedan kvar en rot måste man ju göra det igen. Det är exakt samma procedur.

Låter bra det, tack igen och ha en trevlig fredagskväll

Vänliga hälsningar, Sebastian

P,s: jag ska fortsätta spana på uppgiften det såg riktigt fint uträknat ut ska nog checka mer på det imorgon när jag löser andra uppgifter.

Om man gör en komplett kvadratkomplettering ser man direkt att formen är postiv definit:

12x² - 8xy + 12y² =
= 4(x²+2xy+y²) + 8(x²-2xy+y²)
= 4(x + y)² + 8(x - y)².

Elliptisk paraboloid: z = 4*(x+y)^2 + 8*(x-y)^2
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%5E2&t=crmtb01

Kvadratkomplettera systematiskt så ser du direkt att den är positivt definit. Bestäm dig för att börja med en variabel, t.ex. den med lägst konstant framför (tycker jag är smidigast), i detta fall har både x^2 och y^2 konstanten 12 så det spelar ingen roll. Kvadratkomplettera klart x^2 innan du går vidare med y^2 så får du 12(x-y/3)^2+32y^2/3