Tillämpning av diff-ekvation: fjäder i rörelse

Behöver hjälp med uppgiften här ovan. Vet verkligen inte hur man ska lösa den.

Det jag kommit fram till är i princip att F(t) = -32*L = mg = 12sin(ωt)
Där L är hur långt den befinner sig från startpunkten. Sen vet jag inte alls hur jag ska göra. Lite hjälp vore inte fel

Det är väl viktens rörelse som är intressant? Frilägg alltså vikten för att fastlägga krafterna som verkar på den. Ställ sedan upp rörelseekvationen för vikten (i någon lämplig variabel) enl Newtons andra lag.

Börja med att införa en x-koordinat, riktad nedåt från massans jämviktsläge. Om du tänker dig en situation där massan endast hänger i fjädern utan inverkan av den yttre kraften F(t), så inser man att fjädern dras ned en viss sträcka enbart av massans tyngd. Denna är dock inte intressant i uppgiften, då man speciellt vill veta hur massan rör sig i förhållande till jämviktsläget. Alltså söker vi förändringar av massans rörelse runt sitt jämviktsläge.

Frilägg nu massan. Eftersom vi söker förändringar kring jämviktsläget har vi fjädernkraften kx uppåt, där x är fjäderns förlängning från jämviktsläget och vi behöver därför ej ta hänsyn till tyngdkraften. Nedåt har vi då den yttre kraften F(t). Kraftekvationen i x-led ger

mx'' = -kx+F(t)

dvs

x'' + (k/m)x = F(t).

Inför som vanligt ω_n^2 = k/m. Lös diffekvationen för två fall, dels ω_n ≠ ω, och dels ω_n = ω. Vad är det för fenomen som uppstår då ω = ω_n?

Jag har väldigt svårt att förstå detta.

█1█ Du menar så att när x är exempelvis lika med 1 så är fjädern utdragen lite från jämviktsläget. Och när x=0 är den i jämviktläget, och när det är x=-1 är den lite ihoptryckt, eller?

█2█ Detta betyder alltså att massan gånger hur avståndet från jämviktsläget accelererar med avseende på tiden är proportionellt mot det nuvarande avståndet plus F(t). Eller? Förstår inte riktigt varför

Men det kanske är för att det totala kraften är F(tot)=ma och även att F(tot)=-kx+F(t). Förstår ändå inte riktigt hur det hänger ihop.

█3█ Vadå som vanligt? Vad betyder "ω_n" ?

Tack för svaret föresten!

1) Precis. När x>0 så är fjädern utdragen och när x<0 så är den ihoptryckt. x=0 är jämviktsläget.

2) Japp. Newtons andra lag ger ju att summan av alla krafter som verkar på partikeln är lika med massan*accelerationen. Läget x är ju en funktion av tiden, x=x(t), därmed är x''(t) = accelerationen. Fjäderkraften är ju proportionell mot avvikelsen från fjäderns naturliga längd (i vårt fall jämviktsläget eftersom fjädern dras ned en (i ditt fall) ointressant sträcka på grund av tyngdkraften). Rita upp och frilägg så ser du enklare hur krafterna verkar.

3) Att införa ω_n^2 = k/m gör det dels smidigare att lösa diffekvationen (man slipper jobba med en del kvadratrötter), men ω_n har även den fysikaliska tolkningen som systemet egenvinkelfrekvens, alltså den frekvens systemet själv vill svänga med.

Edit. Rättade ett fel i mitt förra inlägget, det ska såklart stå x'' + (k/m)x = (1/m)F(t).