Formler för Partikulärlösning?

Hej!

Om jag har tre ekvationer som ser ut så här:
1. ay' + by = ce^(-3x)
2. ay'' + by' + cy = dx som har dubbelrot.
3 ay'' + by' + cy = dx som har ej dubbelrot.

Vad är då formlerna för jag ska kunna anpassa dessa för y_p ?
Hör att det finns en formel som ser ut så här y_p = (C_1*x + C_2)e^(-4x) men är den till för dubbelrot eller icke dubbelrot? Hur ser formlen y_p för ekvation 1?

Ansätt yp(x) = Ae^(-3x). Detta ger ekvationen (-3a+b)A = c, dvs A = c/(-3a+b).

Om -3a+b = 0 får vi problem. Ansätt i det fallet i stället yp(x) = Axe^(-3x), som ger ekvationen aA = c, dvs A = c/a.


Ansätt yp = Ax+B. Då är yp' = A och yp'' = 0 så att vänsterledet blir
a*0 + b*A + c*(Ax+B) = (bA+cB) + cAx
Detta skall vara lika med dx för alla x. Villkoret för detta är bA+cB = 0 och cA = d, varur vi får
A = d/c och B = -bA/c = -b(d/c)/c = -bd/c^2.

Vi får problem om c = 0, men då har ekvationen formen ay'' + by' = dx, som vi kan skriva au' + bu = dx, där u = y'. Här ansätter vi up(x) = Ax+B som ger aA + b(Ax+B) = dx, dvs vi skall ha aA+bB = 0 och bA = d. Detta ger A = d/b och B = -aA/b = -a(d/b)/b= -ad/b^2. Alltså får vi up(x) = (d/b)x + (-ad/b^2) = (bdx - ad)/b^2, vilket ger antiderivatan yp(x) = (bdx^2/2 - adx + C)/b^2.

Om nu även b = 0 får vi återigen problem, men då har vi ekvationen ay'' = dx som antideriveras två gånger och ger ay' = dx^2/2 + A och ay = dx^3/6 + Ax + B, dvs y = (dx^3/6 + Ax + B)/a.

Om slutligen även a = 0 så har vi verkligen inte mycket till ekvation kvar: 0 = dx. Detta kräver d = 0.