Inlupp flervariabel analys. Har jag gjort rätt?

Jag ska visa att h(x,y,z)=f(x/y,y/z) är en lösning till en diffekvation. Har jag gjort rätt? Är det någon småsak som behöver fixas?

[; h(x,y,z)=f\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z} \right )
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac {1}{y}
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial f}\left (\frac {-x}{y^2}+\frac{1}{z} \right )
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac {-y}{z^2}
\newline
\newline
\newline
x\frac{\partial h}{\partial x}+y\frac{\partial h}{\partial y}+z\frac{\partial h}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial f}\left ( x\frac{1}{y}+y\left ( \frac {-x}{y^2}+\frac{1}{z} \right ) +z\frac {-y}{z^2}\right )=\frac{\partial h}{\partial f}\left ( \frac{x}{y}-\frac{x}{y}+\frac{y}{z}-\frac{y}{z} \right )=\frac{\partial h}{\partial f}\cdot 0=0 ;]

Rent formellt sett funderar jag över om detta skrivsätt inte är mer korrekt:

h(x, y, z) = f(s(x, y, z), t(x, y, z))) där s = x/y och t = y/z

Och du får exempelvis:

∂h/∂x = ∂f/∂s·∂s/∂x + ∂f/∂t·∂t/∂x = ∂f/∂s·1/y + ∂f/∂t·0 = ∂f/∂s·1/y

Enligt kedjeregeln.

Jag misstänkte att om någon skulle svara skulle det vara du.

Den första raden är given i uppgiften, så jag får anta att den är korrekt.

Vilken rad, att ∂h/∂x = ∂h/∂f·∂f/∂x = ∂h/∂f·1/y? Om det skrivsättet är okej är det nog inget fel på beviset. Däremot kan jag nog säga att jag föredrar mitt skrivsätt då det blir väldigt tydligt vad som händer, men det är väl isåfall en fråga om tycke och smak.

Jag tänkte på raden h(x,y,z)=f(x/y,y/z)

Nu ser jag att det blev lite konstigt. Ny version:

[;
h(x,y,z)=f\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z} \right )
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac {1}{y}
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial h}{\partial f}\left (\frac {-x}{y^2}+\frac{1}{z} \right )
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial f}\frac {-y}{z^2}
\newline
\newline
\newline
\frac{\partial h}{\partial x}x+y\frac{\partial h}{\partial y}+z\frac{\partial h}{\partial z}=\frac{\partial h}{\partial f}\left ( x\frac{1}{y}+y\left ( \frac {-x}{y^2}+\frac{1}{z} \right ) +z\frac {-y}{z^2}\right )=\newline=\frac{\partial h}{\partial f}\left ( \frac{x}{y}-\frac{x}{y}+\frac{y}{z}-\frac{y}{z} \right )=\frac{\partial h}{\partial f}\cdot 0=0
;]

Det är enbart formatering jag ändrade. Userscriptet verkar bugga lite.

Okej! Min spontana reaktion var att ∂h/∂x = ∂h/∂f·∂f/∂x är ett litet konstigt skrivsätt, vad betyder ∂h/∂f? Kedjeregeln för flera variabler lyder ju att:

[; u(x(t))= u(x_1(t_1,...,t_m),...,x_n(t_1,...,t_m)));]

Har den partiella derivatan med avseende på [;t_j;] där [;j = 1,...,m;] :

[; \frac{\partial u }{\partial t_j} = \frac{\partial u }{\partial x_1}\frac{\partial x_1 }{\partial t_j} + ... + \frac{\partial u }{\partial x_n}\frac{\partial x_n }{\partial t_j};]

Med mitt synsätt på funktionen tycker jag det blir tydligare hur kedjeregeln tillämpas, medan ditt sätt med termen ∂h/∂f känns lite konstigt. Hur relaterar denna till kedjeregeln vi har ovan?

Fast vad skulle det betyda att derivera h partiellt med avseende på f? Jag tycker det är bättre om du gör som Otrolig föreslår istället.

Man kan visserligen lösa uppgiften på ett lite smidigare sätt, men det är nog inte tänkt att du ska göra så. Hursomhelst så notera att h(x, y, z) = h(tx, ty, tz) för t > 0. Vad får du om du deriverar med avseende på t? Vad får du om du sedan låter t = 1.

Tack så hemskt mycket för hjälpen. Jag tror jag börjar förstå nu.