Uttrycka en integral som en dubbelintegral

Säg att vi har en funktion f(x) och vi vill integrera denna funktion över ett givet intervall, säg från 0 till a.

Dvs ∫f(x)dx från x=0 till x=a.

Säg nu att jag delar upp intervallet [0,a] i små delintervall och integrerar över dessa för att sedan summera integralerna över det totala intervallet [0,a]. Alltså,

∫f(x)dx = ∫(1) + ∫(2) + f(3) + ... + f(n). (Alla intervallen är lika stora.)

Om vi nu låter längden på varje delintervall gå mot noll kommer antalet integraler att gå mot oändlgheten samtidigt som värdet på varje enskild integral går mot noll. (Ju fler delintervall vi har desto mindre måste värdet av integralen över varje delintervall bli.)

Nu kommer frågan! Hur kan jag uttrycka denna summa av integraler som en integral? Jag borde få en riemannsumma där termerna i summan är integraler, men en riemannsumma kan ju uttryckas som en integral, så jag borde få ett uttryck med två integraltecken!?

Alltså likheten borde kunna skrivas som ∫f(x)dx = ∫(∫ (av något)).

Hoppas ni förstår vad jag menar!

Du menar om man kan skriva om kan skriva om högerledet här till något "finare"?

[; \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x) \, \mathrm{d}x ;]

Ja, precis. Men gränsvärdet och summatecknet i högerledet liknar ju precis definitionen för en integral. Så kan man inte på något sätt fortsätta att manipulera det så att man får ett nytt integraltecken, dvs totalt två?

Integralen har ett element, tex dx, multiplicerat också. Summan där har inget dx.

Skulle vi ha en dubbelintegral höjs dimensionen med 1, men så är inte fallet. Det är bara en summa och inte en till integral.

Om f är deriverbar, så är ju [; f(a) = \int_0^a f'(t)\, dt;] (säg f(0) = 0). Då har vi att
[; \int_0^1 f(x)\, dx = \int_0^1 \int_0^x f'(t)\,dt\,dx ;]

Problemet är att den inre integralen blir över ett "oändligt kort" intervall.

Sätt [; \Delta{x}_{k,n} = 1/n ;] och
[; \bar{f}_{k,n} = \frac{1}{\Delta{x}_{k,n}} \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x) \, \mathrm{d}x ;]


Vi kan då skriva
[; \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x) \, \mathrm{d}x
= \Delta{x}_{k,n} \cdot \frac{1}{\Delta{x}_{k,n}} \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x) \, \mathrm{d}x
= \Delta{x}_{k,n} \cdot \bar{f}_{k,n} ;]


Alltså blir
[; \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x
= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x) \, \mathrm{d}x
= \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} \Delta{x}_{k,n} \cdot \bar{f}_{k,n}
= \int_0^1 \bar{f}(x) \, \mathrm{d}x ;]

Här är [; \bar{f} ;] i praktiken samma sak som [; f ;] och vår slutintegral (som inte blev någon dubbelintegral) reduceras till den vi startade med. Inget nytt har således uppnåtts.