MaC, försöker få grepp om hur man deriverar en funktion med e^kx

så exempel från min kursbok

"hur deriverar man y= e^2x"

"allmänt gäller att: f(x)= e^kx där k är en konstant har derivatan f'(x)= k*e^kx"

detta betyder att det ska se ut som följande f'(x)= 2*e^2x men svaret blir 2

när jag kollar igenom boken där de bevisar hur funktionen ska lösas så fastnar jag vid det sista momentet av lösningen

"k= lim h-> 0 e^2h-1/h= lim 2(e^2h-1)/2h= 2"

jag förstår inte vad som händer här som resulterar i talet 2, kan någon hjälpa mig med att förklara lite steg för steg vad som sker i ekvationen(med tanke på att det inte står att h går mot 0 så uteslöt jag att göra något av det)

Kan det ha varit så att de satte x=0 som exempel?


"allmänt gäller att: f(x)= e^kx där k är en konstant har derivatan f'(x)= k*e^kx"

Om k=2 och x=0 blir nämligen svaret f'(x)=2.


"f'(x)= 2*e^2x men svaret blir 2"

Detta stämmer inte så länge som x är okänd.

Vet inte om jag klargjorde någonting för dig överhuvudtaget.

k= 2 från den sista derivatafunktionen du citera

Förstår du detta? Dum fråga eftersom du inte sett vad jag har skrivit än, men jag skall försöka utmana din begreppsförståelse för funktioner. Titta och njut och se om du förstår vad jag menar.

Vi kan kalla expoentialfunktionen e^x för f(x). Typ som att vi kan kalla en rät linje för f(x) = 2x+3. Eller hur? f är namnet och parentesen med x betyder var variabeln är.

Helt enkelt kallar jag e^x för f(x)

Titta nedan:

f(x) = e^x

Men vår funktion såg ju inte ut såhär eller hur? Det var ju en jävla konstant 2 ivägen. Hur fan visar vi detta? Låt oss kalla en ny funktion! Vi kallar den g(x).

Studera g(x):

g(x) = 2x

g(x) är alltså en annan funktion. Den funktionen du hade i din uppgift är en sammansättning av dessa två funktioner.

Du hade ju:

e^(2x)

Hur skriver vi detta uttryckt med f(x) och g(x)?

Jo vi skriver såhär:

f(g(x)) = e^(g(x)) = e^(2x)

Studera noggrant hur jag "stoppar in" f(x) in i g(x) och vad som händer med f(x). Vi ser att g(x) hamnar i exponenten och sedan vet vi ju att g(x) är exakt samma sak som 2x, därav kan vi skriva e^(2x) istället för f(g(x)).

Helt enkelt att:

f(g(x)) = e^(2x)

Detta kallar vi en sammansättning av funktioner. Vi har en funktion av en annan eller samma funktion. Utläses f av g av x.

Allmän gäller att när man deriverar en funktion av en funktion används kedjeregeln. Helt enkelt erhar vi följande:

Derivatan av f(g(x)) är lika med:
f'(g(x))*g'(x)
Vi deriverar alltså den yttre funktionen som vanligt och sedan multiplicerar vi med derivatan av den inre funktionen.

I ditt fall blir det då

e^(2x)*g'(x)

g(x) = 2x, vet vi sedan innan. och derivatan av 2x är ju 2. Därför får vi

e^(2x)*2

Eller helt enkelt

2e^(2x)

Förenkling av detta tankesätt leder till att du ser det såhär:

f(x) = e^(kx)
f'(x) = ke^(kx)

Varför kan man fråga sig då? Jo för att det är så kedjeregeln fungerar. Vi multiplicerar med inre derivatan. Derivatan av den inre funktionen. Och vad är derivatan av y = kx? Jo derivatan av kx är ju k. Alltså multiplicerar vi med k.

Uppgift att lösa:
Derivera följande

1. y = e^(x)
2. f(x) = 2e^(5x)
3. g(x) = e^(2x+1)
4. h(x) = e^(x²)

Menar du inte tvärt om?

Du "stoppar in" g(x) i f(x) ?

ja

Du har standardgränsvärdet (e^t - 1)/t → 1 då t → 0.

Med f(x) = e^(kx) får vi med derivatans definition:

(e^(k(x + h)) - e^(kx))/h = e^(kx)·(e^(kh) - 1)/h

Detta ser nästan ut som standardgränsvärdet ovan, men inte riktigt. Men om vi förlänger med k får vi en form vi faktiskt känner igen:

ke^(kx)·(e^(kh) - 1)/(kh)

Eftersom t = hk → 0 då h → 0 får vi:

ke^(kx)·(e^t - 1)/t → ke^(kx)·1 = ke^(kx) då t → 0

Vi har alltså visat att f'(x) = ke^(kx) för någon konstant k.

EDIT: Såg nu i efterhand att det var Matematik C. Om du inte känner igen begreppet standardgränsvärde kan du nog ignorera mitt inlägg.

tack bengtz, jag ska se till att lösa uppgifterna till efter tisdag, har prov att läsa på framtillsdess!

tack ni andra också

Jag skapade dessa för att du skall kunna öva på inför ditt prov. Jag tänkte mig att de tar ungefär 15 minuter att lösa. Det är uppgifter av icke komplex karaktär och kräver egentligen bara ett svar.