sin x < x < tan x

sin x < x < tan x

för 0 < x < pi/2

i kursboken genomför dom beviset såhär:

först ritar de upp en figur med enhetscirkeln http://i48.tinypic.com/nlzhi8.png

och sen använder de sig av att i en rätvinklig triangel är varje katet strängt mindre än hypotenusan så att

sin x = PQ < PS <= x

samt

x <= PT + TS < RT + TS = RS = tan x

och sen är de klara.


nu till problemet. jag förstår hur de har gjort men jag tycker inte att detta är ett riktigt bevis. de visar ju varken att PS <= x eller att x <= PT + TS.

visst ser jag klart och tydligt i bilden att det är så men det kan väl ändå inte klassas som ett fullskaligt bevis?

jag klarade själv av att bevisa att PS <= x genom att använda mig av cirkelsektorns area och så. men den andra delen, att x <= PT + TS klarar jag inte av. någon som vill visa?

Du vet att definitionen på en radian är cirkelbågens längd i enhetscirkeln va?

0 < x < pi/2. Dra linjen OT!
Arean av sektorn OSP < arean av ∆OST + arean av ∆OTP

=> x < ST + TP.

Men, är det inte enklare att visa x < SR direkt?

Arean av sektorn OSP < arean av ∆OSR => ...

PS ≤ x eftersom en rät linje är kortaste vägen mellan två punkter (i det här fallet P och S). Cirkelbågen mellan P och S, med längd x, är alltså längre än den räta linjen.

självklart



var hittar du sambandet som sätter x (cirkelbågens area gånger två) i relation till trianglarnas areor? jag kan plocka fram uttryck för areorna men jag lyckas inte visa areornas relation till varandra på annat sätt än att ta en titt på figuren



i det andra fallet då? x <= PT + TS

A(OSP) = ½ * 1² * x = ½x,
A(OST) = ½ * 1 * ST = ½ST,
A(OTP) = ½ * 1 * TP = ½TP.

Det var klart värre, men en areajämförelse verkar rätt väg att gå.

Arean av cirkelsektorn POS är mindre än arean av fyrhörningen POST, som kan delas upp i två rätvinkliga trianglar POT + SOT, vilkas areor är PT/2 respektive TS/2. Arean av cirkelsektorn är x/2. Detta ger x/2 ≤ PT/2 + TS/2, dvs x ≤ PT + TS.

nu svarar jag er båda då ni i princip säger samma sak:




jag är med fram till efter ni har plockat fram uttrycken för de respektive areorna. det jag inte förstår är hur ni drar slutsatsen att cirkelsektorns area är mindre än arean av de två trianglarna.

låt säga att jag bestämt hävdar det motsatta. jag hävdar att cirkelsektorns area är större än de två trianglarnas area. jag har ju uppenbarligen helt fel men varför har jag fel? det verkar så självklart att det inte behöver bevisas eller?

Cirkelsektorns area (som är x/2), inte cirkelbågens (som är 0).
Du har antagligen skrivit fel nu, för här skriver du något som är sant: cirkelsektorns area är ju mindre än de två trianglarnas sammanlagda area.


Ett axiom för areor, antar jag: Om U är ett delområde till V, så har U mindre (eller lika) area som V.

hoppsan, edit


det var som fan. jag trodde det var något som behövde bevisas. så dumt av mig. tack för era svar!

Det behöver knappast bevisas här i alla fall. Men om det är en sats eller ett axiom för area beror på vilken definition av area man väljer.