Matematik visa att delmängden till r3 är ett vektorrum.

Antag att vi har delmängden {(x,y,z) ∈ R3: x+y+2z=0} för att visa att denna delmängd är ett vektorrum räcker det med att hitta endast 2 vektorer som uppfyller att v,u uppfyller x+y+2z=0 samt att v + u också gör det? Exemeplvis vektorn v = (1,1,-1) och u=(2,2,-2) samt v + u uppfyller att x+y+2z=0, räcker det för att säga att x+y+2z=0 är en delmängd till R3 är ett vektorrum?

Hur gör jag när jag ska visa att delmängden INTE är ett vektorrum? Gäller samma sak här, att jag kan hitta två vektor v,u som uppfyller x+y+2z=0 men där v + u inte uppfyller x+y+2z=0? räcker det för att då säga att x+y+2z=0 som delmängd inte är ett vektorrum till R3?

Låt U = {(x,y,z) ∈ R³: x + y + 2z = 0}. För att visa att det är ett vektorrum, låt u = (x₁, y₁, z₁), v = (x₂, y₂, z₂) ligga i delmängden och låt λ vara en reell konstant. Eftersom u, v ligger i delmängden gäller att x₁ + y₁ + 2z₁ = 0 och x₂ + y₂ + 2z₂ = 0. Vi får att:

u + v = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
λu = (λx₁, λy₁, λz₁)

(x₁ + x₂) + (y₁ + y₂) + 2(z₁ + z₂) = (x₁ + y₁ + 2z₁) + (x₂ + y₂ + 2z₂) = 0 + 0 = 0
λx₁ + λy₁ + 2(λz₁) = λ(x₁ + y₁ + 2z₁) = λ0 = 0

Vi har alltså visat att:

u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U
u ∈ U, λ ∈ R ⇒ λu ∈ U

Och av detta följer att U är ett vektorrum. För att visa att en delmängd inte är ett vektorrum räcker det med att hitta något motexempel.

Tack så mycket. Är det även så att nollvektorn alltid finns i varje vektorrum?

Ja, den måste finnas där. Hur ser man det då? Jo, låt U vara ett vektorrum, u ett element i U och λ som ovan en reell konstant. Det ska ju gälla att u ∈ U, λ ∈ R ⇒ λu ∈ U. Specifikt, om nu λ = 0 har vi ju att 0u ∈ U, men då 0u = 0 gäller alltså att 0 ∈ U.

Nej, du måste visa att för alla v, u som x+y+2z=0 gäller att även v+u gör det.

Du måste även visa att för alla v som x+y+2z=0 gäller att även λv gör det då λ är ett reellt tal (om det är ett reellt rum).
Och så måste du visa att rummet inte är tomt.