Dubbelintegral.

Behöver hjälp med två dubbelintegraler.
1.
Beräkna dubbelintegralen x/(1 + y^2) dxdy med avseende på området x^(2) <= y <= 1 och sedan
x => 0. Jag fastnar helt, är integreationsgränserna för y som givet och för x som större än noll men mindre än 1?


2.
Beräknadubbelintegralen ln(1 + x^(2) + y^(2)) dxdy med avseende på området 1<= x^(2) + y^(2) <=2. Här har jag provet med variabelbytet u = x^(2) + y^(2) men då beror ju bara integralen av en variabel och inte två? Hur gör jag här?

1. Tja, du har området 0 ≤ x² ≤ y ≤ 1. Om du vill börja med att integrera i y-led får du gränserna x² ≤ y ≤ 1 och sedan integreras x över 0 ≤ x ≤ 1. Vill du istället börja med att integrera i x-led får 0 ≤ x ≤ √y ≤ 1 vilket alltså ger att 0 ≤ x ≤ √y och sedan 0 ≤ y ≤ 1.

Kan ju säga att det allra enklaste blir att börja i x-led, annars blir räkningarna rätt stökiga.

2. Byt till planpolära koordinater.

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator

Känns som att de blir konstigt med planpolära koordinater. Hur blir integrationen då, r*ln(1 +r^(2))?
då integrerar jag ju bara över r som svarar mot en area, vart är min dubbelintegral? hjälp!

Nej, planpolärt variabelbyte innebär ju att:

x = rcosφ
y = rsinφ

Med differentialer dxdy = rdrdφ. Ditt område i kartesiska koordinater var 1 ≤ x² + y² ≤ 2, så i polära koordinater blir detta 1 ≤ r ≤ √2, 0 ≤ φ ≤ 2π.

Tack så mycket. Det återstår dock ett problem. Dels förstår jag inte hur jag hittar gränserna för φ? Hur kan jag avläsa detta precis som jag avläser gränserna för r? Enligt facit verkar det som att 0 ≤ φ ≤ pi? stämmer det?

Efter variabelbytet behöver jag hitta en primitiv för r*ln(1 + r^(2)), hur gör jag detta på enklast sätt? Partialintergration ledde till att räkna ut primitiv till (2r^(3))/(1+r^(2)) vilket jag inte tyckte verkade speciellt förenklat?


Hjälp!!

Nej, det borde vara 0 ≤ φ ≤ 2π vad jag kan se, eftersom du går ett helt varv i cirkelringen. Att få fram gränserna för φ är oftast bara en enkel geometrisk insikt, här ser du ju att du går ett helt varv och därmed gäller att 0 ≤ φ ≤ 2π (även gränserna -π ≤ φ ≤ π duger exempelvis, bara du fullbordar ett helt varv).

För att behandla integralen, börja med att göra ett variabelbyte, t = r² vilket ger dt = 2rdr följt av partiell integration.

∫ ln(1 + r²)·r dr = 1/2 ∫ ln(1 + t) dt = 1/2·(t·ln(1 + t) - ∫ t/(1 + t) dt)

Den sista integralen behandlar du genom att t/(t + 1) = (t + 1)/(t + 1) - 1/(t + 1) = 1 - 1/(t + 1), detta ger oss:

1/2·(t·ln(1 + t) - ∫ t/(1 + t) dt) = 1/2t·(t·ln(1 + t) - ∫ dt + ∫ 1/(t + 1) dt) = 1/2·(t·ln(1 + t) - t + ln(1 + t)) + C

Slutsats, ∫ ln(1 + r²)·r dr = 1/2·((1 + r²)·ln(1 + r²) - r²) + C

Är det sistnämda den fullständiga integralen efter att jag satt in sqrt(2) i uttrycket och sedan 1 som mina gränser? Det blir nämligen fel enligt facit? Något pi ska multipliceras in någonstans b.l.a?

Nej, det är inte den fullständiga integralen. Låt D: 1 ≤ x² + y² ≤ 2 och E: 1 ≤ r ≤ √2, 0 ≤ φ ≤ 2π.

∫∫_D ln(1 + x² + y²) dxdy = ∫∫_E ln(1 + r²) rdrdφ = ∫_{0, 2π} dφ ∫_{1, √2} ln(1 + r²)·r dr