Matematik C (3c) Triangel i koordinatsystem

Tjenare, har lite bråttom att lösa en uppgift till imorgon. Här är en bild som hör till uppgiften:
http://imgur.com/c0nP9Tx

"Figuren visar kurvan y = f(x) där f(x) = 1/x, x > 0. I en punkt P som ligger på kurvan y = f(x) är en tangent dragen. Tangenten bildar tillsammans med de positiva koordinataxlarna en triangel.
a) Bestäm ekvationen för tangenten i formeln y = kx + m om punkten P har x-koordinaten 0,5. b)Bestäm arean av triangeln
c) Bevisa att arean av triangeln kommer att ha samma värde oavsätt vilken x-koordinat som punkten P har"

Svar
a) Jag fick med hjälp av derivatan ut att y = -4x + 4. Är det rätt?

b) Jag använde min formel för att se vart linjen skar i de två koordinataxlarna. Jag fick ut punkterna 1,0 och 0,4. Utifrån det fick jag ut att arean borde bli 2 a.e Är det korrekt?

c) C vet jag inte hur jag löser och behöver hjälp med denna, men innan detta är det bra att kolla igenom om mina två tidigare svar är korrekt, då jag inte är säker.

Är mycket tacksam för snabb hjälp, tack!

Du har gjort rätt på de två första. Vet inte hur den sista ska lösas.

Låt punkten (a, b) ligga på y = 1/x, vilket innebär att b = 1/a ⇔ ab = 1.

Derivering ger y'(x) = -1/x² och y'(a) = -1/a² och ansats med rät linje y = -1/a²·x + m och insättning av punkten (a, b) ger b = -1/a²·a + m så m = 1/a + b. Tangentlinjens ekvation ges alltså av y = -1/a²·x + 1/a + b. Försök nu själv innan du kikar i spoilern.

Mycket bra hjälp, stort tack, jag är nästan där.
Ser dock inte riktigt hur du utifrån 0 = -1/a²·x + 1/a + b kunde få fram att x = a(ab + 1). Skulle vara bra om du gick lite djupare i den förenklingen

-1/a²·x + 1/a + b = 0 ⇔
1/a²·x = 1/a + b ⇔
x = a²(1/a + b) = a(a/a + ab) = a(1 + ab) = a(ab + 1)

Stort tack, det börjar bli sent och jag blandar ihop de olika reglerna, om du har tid vore det strålande om du kunde göra samma utförliga förenkling på när du fick ut m från b = -1/a^2 *a + m

Du måste vara riktigt trött, det är ju bara att flytta över!

b = -1/a²·a + m ⇔ m = b + 1/a²·a = b + a/a² = b + 1/a = 1/a + b

Nu är det verkligen slutspörten, sitter och räknar massa annat samtidigt, får dock inte ihop hur (1/a + b)·(a(ab + 1))/2 blir till (a²b² + 2ab + 1)/2 jag får fel på någon enstaka siffra, varför!?

A = (1/a + b)·(a(ab + 1))/2 = (a/a + ab)(ab + 1)/2 = (1 + ab)(ab + 1)2/ = (ab + 1)²/2 och då ab = 1 får vi att A = (1 + 1)²/2 = 2²/2 = 2.