Matte I (universitet) hjälp med uppgifter

Tja sitter här med två olika uppgifter som jag har lite svårt för

Den ena.
z+(1+i)z = 1-i

där understrukna z egentligen ska vara ett streck över för konjugatet av z, hopppas ni fattar

Andra uppgiften lyder:
För vilka heltal är x^3-53 delbart med 8.

Om någon skulle kunna förklara hur man ska gå tillväga för att lösa dessa uppgifter vore jag väldigt tacksam

Annan vanlig beteckning för konjugat: z*

Ekvation: z + (1+i)z* = 1-i

Ansätt z = x + iy.
Insättning ger (x+iy) + (1+i)(x-iy) = 1-i.
Utveckla och dela upp i real- och imaginärdel: (2x+y) + ix = 1-i.
Realdel och imaginärdel måste stämma var för sig: 2x+y = 1, ix = -i.
Alltså, x = -1, y = 1-2x = 1-2(-1) = 3.

Lösning: z = -1 + 3i.

ok, hade jag ingen aning om. och tack för hjälpen.

Alternativ metod ...
Komplexkonjugering av den givna ekvationen, z+(1+i)z* = 1-i, ger

z*+(1-i)z = 1+i .

Lös ut z* och stoppa in uttrycket i den givna ekv.

EDIT!

Dessa lösningar stämmer inte!

Men jag låter det stå kvar för det kanske ger någon idé.

Något ostrukturerat:

Om x³-53 är delbart med 8 kan det skrivas som 8n för något heltal n.

x³-53=8n
x³=8n+53

Vi kan lätt se att x³ är udda eftersom 8n är jämnt och 53 är udda och summan av ett jämnt och udda tal är udda.

Ansätt x=2a+1

(2a+1)³=8n+53
8a³+12a²+6a+1=8n+53
8a³+12a²+6a=8n+52
a(4a²+6a+3)=4n+26
a_1=4n+26

4a²+6a+3=4n+26
2a(2a+3)=4n+23
a_2=2n + 23/2 (Ger inga heltal)
2a+3=4n+23
a_3=2n+10

Jag förstår inte den här lösningen. Skulle alltså n=1 -> a_3=12 -> x=25 vara en lösning? (det är det inte)

Det fetmarkerade vill jag gärna ha förklarat, är jag dum?

Nej, det är bara jag som är dum i huvudet.

Däremot är faktiskt x=27 en lösning, men jag hade förmodligen bara tur där.

x=27 ser jag inte ens hur du får fram mha. av dina a:n ^^''

Men du verkade ha lite tur för x=21 var en lösning. så väl som x=53

Jag sa fel igen. Jag menade x=30, vilket jag får för n=1 när a=4n+26.

Dags att sova för mig tror jag...

2) För vilka heltal x delar 8 x³-53, dvs när gäller det att 8 | x³-53 <=> för vilka x är x³ kongruent med 53 modulo 8? Behöver du mer ledning?

Ledning; för 5, t ex. Finns det fler lösningar och hur ser de ut i sådana fall?

fortsätter:

hur kom jag fram till det? Jo, jag prövade 0, 1, 2, ... 7 (varför inte fler tal?). 5 löser ekv. Dessutom löser 5 + 8 ekv. Samt 5 -8. Och 5 -16. Generellt löser 5 ± n8, n heltal, ekv.

Lyckades lösa den efter ditt första inlägg, men tack för hjälpen!