Visa att funktionen är kontinuerlig...

Men måste man inte då visa att den är begränsad? Det gjorde inte du när du hjälpa mig med första uppgiften i tråden? Du antog ju bara att u(θ) va begränsad?

Ärligt talat tänkte jag inte på att det är nödvändigt. Men man ser lätt att den är begränsad. Om du får ett uttryck som endast består av sin(θ) och cos(θ), sammansatta genom multiplikation, addition och subtraktion, men inte genom division -- såvida det inte är något som reduceras till en konstant skild från noll, förstås, i nämnaren; exv. sin²(θ)+cos²(θ) -- så är uttrycket begränsat.

Hmm, men då hade vi bara tur. Dvs att vi hade just (x^(2) + y^(2))^(2) i nämnaren som kunde reduceras till en konstant. Antag att vi istället har (xy^(2))/(x^(4) + y^(4) + x^(3)y)

Detta med polära koordinater ger (1/r)*((cos(θ)sin^(2)(θ))/(cos^(4)(θ) + sin^(4)(θ) + cos^(3)(θ)sin(θ)).


Till en början skrev jag bara att (1/r)*u(θ) och kom på att jag egentligen först måste visa att (θ) är begränsad, och här går det inte att reducera nämnaren till en konstant såvitt jag kan se. Det jag försöker komma fram till är vilken teknik man använder sig av när man ska visa att en funktion av typ u(θ) är begränsad på ett så enkelt sätt som möjligt?

Man kan visa att cos^(4)(θ) + sin^(4)(θ) + cos^(3)(θ)sin(θ) > 0. Detta medför att ((cos(θ)sin^(2)(θ))/(cos^(4)(θ) + sin^(4)(θ) + cos^(3)(θ)sin(θ)) är begränsad.

Är detta verkligen sant? Känns som man tar ett litet stort steg i den implikationen ("medför"). > 0 kan ju vara godtyckligt liten?

Rent allmänt, visar man att uttrycket är större än 0 eller skilt från 0?

Just när det kommer till cos^(4)(θ) + sin^(4)(θ) + cos^(3)(θ)sin(θ) kan man inte då hävda att för att detta ska vara 0 för något θ så gäller att alla 3 termer är 0, exempelvis är cos^(4)(θ) aldrig noll när sin^(4)(θ) är 0 vilket medför att nämnaren alltid är skild från noll och om den här skild från 0 för alla θ så är den även alltid större än noll.

Uppgiften i sig, är alltså att visa att nämnaren är skild från noll och från det följer att nämnaren är större än noll, stämmer det?

Det är sant. Eftersom uttrycket är obegränsat när nämnaren kan bli oändligt liten, dvs gå mot noll så vill man visa att det inte kan gå mot noll, dvs att nämnaren alltid är större än noll. Då kan inte nämnaren bli oändligt liten och uttrycket inte oändligt stort vilket medför att det är begränsat.

Eftersom u(θ) är kontinuerlig på ett slutet intervall [0, 2π], så innebär u(θ) > 0 att det finns ett a > 0 så att u(θ) > a.

Men jag förstår vad du syftar på. Uttrycket 1/x > 0 på (0, ∞), men 1/(1/x) = x är obegränsad. Vad man egentligen behöver visa för u(θ) är att det finns a > 0 så att u(θ) > a.



Det först implicerar det senare.



Man skulle kunna tänka sig att den tredje termen (som kan vara negativ, t.ex. för θ = -π/4) skulle kunna "neutralisera" de två första så att totalen blir noll.

Men cos^(4)(θ) + sin^(4)(θ) ≥ 1/2 och cos^(3)(θ) sin(θ) ≥ -3√(3)/16 > -1/2, så summan > 1/2 - -3√(3)/16 > 0. (Enligt Wolfram Alpha )

Men va fan? Jag trodde att man kunde säga att cos^(4)(θ) ≥ 0, eftersom vi har en jämn potens, att sin^(4)(θ) ≥ 0 och att även cos^(3)(θ) sin(θ)≥ 0. De två första är uppenbara och det sista tänker jag cos^(3)(θ)*sin(θ) är en ojämn potens plus en ojämn = jämn potens vilket betyder att även den sista termen cos^(3)(θ) sin(θ) måste vara större än noll?

Men nu säger ju att enligt wolfram kan cos^(3)(θ) sin(θ) även vara mindre än noll?? Blir förvirrad, har ju inte direkt tillgång till wolfram på en tenta.

Det du sa angående " så innebär u(θ) > 0 att det finns ett a > 0 så att u(θ) > a." Jag tror du har skrivit fel? Menar du inte "finns ett a > 0 sådant att u(θ) < a?

Tänkte visa detta...

v(θ) = cos^4(θ) + sin^4(θ).
v'(θ) = -4 cos^3(θ) sin(θ) + 4 sin^3(θ) cos(θ)
= -4 sin(θ) cos(θ) (cos^2(θ) - sin^2(θ))
= 0 omm sin(θ) = 0 eller cos(θ) = 0 eller cos^2(θ) - sin^2(θ) = 0.
Dessa ger cos(θ) = 0 och därmed v(θ) = 1, sin(θ) = 0 och därmed v(θ) = 1 respektive cos(θ) = sin(θ) = ±1/√2 och därmed v(θ) = 1/2.
Eftersom v är kontinuerlig på [0, 2π] gäller v(θ) ≥ 1/2.

w(θ) = cos^3(θ) sin(θ)
w'(θ) = -3 cos^2(θ) sin^2(θ) + cos^4(θ) = cos^2(θ) ( cos^2(θ) - 3 sin^2(θ) )
= 0 omm cos^2(θ) = 0 eller cos^2(θ) - 3 sin^2(θ) = 0.
Dessa ger w(θ) = 0 respektive cos(θ) = √(3)/2, sin(θ) = 1/2 och därmed w(θ) = ±3√(3)/16.
Eftersom v är kontinuerlig på [0, 2π] gäller w(θ) ≥ -3√(3)/16.

Nu gäller 27 < 64, varför 3√(3) = √(27) < √(64) = 8, så 3√(3)/16 < 8/16 = 1/2.
Därmed gäller u(θ) = v(θ) + w(θ) ≥ 1/2 + (-3√(3)/16) > 0.

Dessa är korrekta.


Enligt detta resonemang skulle även gälla 2 sin(θ) cos(θ) ≥ 0. Men detta är inte sant eftersom vänsterledet är sin(2θ) som tar alla värden i [-1, +1].


Nej, jag menar det jag skrev, men i det här fallet avsåg u(θ) nämnaren av ursprungliga u(θ). Det är ju nämnaren vi inte vill skall komma godtyckligt nära noll.

Borde kanske ha valt en annan beteckning på funktionen/uttrycket:
"så innebär f(θ) > 0 att det finns ett a > 0 så att f(θ) > a."

Snyggt.

EDIT:
Tänkte över hur du såg att cos(θ) = √(3)/2 och sin(θ) = 1/2 för w(θ).

På den första cos(θ) = sin(θ) är lätt att se att θ = pi/4 vilket ger just 1/sqrt(2). Hur "såg" du vad som gällde för w(θ)? Är det en vanlig trigonometrisk ekvation som jag är för trött för att se?