Bestämma konstanter i en ekvation

Har en ekvation som lyder som följande:

x(t) = (a1*cos10.4t + b1*sin10.4t)(v1) + (a2*cos0.2t + b2*sin0.2t)(v2) + (a3*cos1.6t + b3*sin1.6t)

Konstanterna a1, a2, a3, b1, b2, samt b3 skall bestämmas.
v1, v2, och v3 är vektorer.
Jag har begynnelsevärdena x1(0) = 1; x2(0) =0; x3(0) = 0;

samt

x′1(0)=0, x′2(0)=0, x′3(0)=0.

Vet inte om det är kaffebristen, eller fredagssyndrom, men jag får helt enkelt inte ihop skiten. Hjälp uppskattas.

Någon?

Du kan ju börja med att notera att du kan skriva x(t) på följande vis

x(t) = Av

Där A = [v1 | v2 | v3], alltså matrisen där du stället upp vektorerna som kolonner och att v = (a1*cos10.4t + b1*sin10.4t, a2*cos0.2t + b2*sin0.2t, a3*cos1.6t + b3*sin1.6t).

Jag antar här att A inte beror på t så därmed har du

x(0) = A*(a1, a2, a3)
x'(0) = A*(10.4·b1, 0.2·b2, 1.6·b3)

Du har alltså två linjära ekvationssystem att lösa, gör det på valfritt sätt.

Så långt hade jag kommit, men jag förstår inte hur jag ska få ihop det med ekvationerna. Totalt hjärnsläpp i 3 dagar med denna uppgift.

Okok, du vet hur man löser linjära ekvationssystem?

Det går kanske lättare att hjälpa dig om du berättar vilken matrisen A är.

Det är ju just det, att jag inte vet vilken matrisen A är. Eller det framgår åtminstone inte av uppgiften.

Om jag får ge grunden till uppgiften så får du kanske en större överblick.

Jag har ett system med 3 massor och 3 fjädrar. Rörelseekvationer enligt Newtons F=ma ställs upp. Då får jag tre ekvationer, en för varje massa.

m1(x1-bis, andraderivatan) = k1x1 ... ..

Där k1x1 är fjäderkraften beroende på riktningsändringen x. Jag delar sedan upp termerna så att jag får två matriser, en för accelerationstermerna(x-bis), och en för x-termerna. Det ger efter att flytta alla till vänsterledet:

A(x-bis) - Bx = 0, Där A och B är matriser, x-bis och x är vektorer [x1;x2;x3]. Sen har jag numeriska värden för m1-m3, och k1-k3. Sedan löser jag det generaliserade egenvärdesproblemet för A och B, det gör jag enklast med Matlab. Får då tre egenvärden. Sen finns det en sats som ger mig x(t) enligt ovan. Värdet 10.4 är alltså ett av egenvärdena. Jag ska med begynnelsevärdesvillkoren lösa ut a1-a3, och b1-b3. Sedan plotta graferna för att se hur massorna rör sig.

Okej, då förstår jag problematiken bättre.

Jag är inte speciellt bra på diffar eller fysik, och jag känner att jag inte riktigt förstår vad du menar att du gör när du säger att du löser det generaliserade egenvärdesproblemet för A och B men men, jag gör lite gissningar om vad det är du har gjort.

Om du har att Ax'' - Bx = 0, om jag förstod dig rätt här så kommer A vara massorna. Därmed bör du kunna invertera den och få x'' = Cx. Med variabelbytet y = Px där P är en inverterbar matris som gör att PCP^(-1) = D är en diagonalmatris (det är inte säker att den blir diagonal men av det du har skrivit så ser det ut som den blir det).

För denna ekvation kommer övergå till y'' = PCP^(-1)y = Dy som är trivial att lösa, du kommer nämligen få vanliga andragradare att lösa.

Problematiken för dig är att du inte har bestämt matrisen P, detta är nämligen egenvektorerna för C som du ska ha där.

Så jag gör jag en kvalificerad gissning och säger att i ditt ursprungsinlägg så ska

v1 vara egenvektorn till egenvärdet 10.4
v2 vara egenvektorn till egenvärdet 0.2
v3 vara egenvektorn till egenvärdet 1.6

Då har du helt enkelt din matris och du kan lösa ekvationssystemen.