√36 ≠ -6, men varför?

Jag har hellre semantiskt fel och logiskt rätt än logiskt fel och semantiskt rätt.

(är du ingenjör??)

Man använder gärna kvadratroten för att beräkna absolutbelopp av t.ex vektorer eller komplexa tal (alltså deras ortsvektorer). Man kan ju även se en reell skalär (ett tal alltså, som 6) som en endimensionell vektor. Eftersom en längd inte kan vara negativ måste roten vara positiv.

Om jag minns rätt definierar man alltså absolutbeloppet av x som sqrt(x^2) (för en vektor (x,y) är ju beloppet sqrt(x^2+y^2)) och absolutbeloppet är ju som bekant alltid positivt.

Funktionen f(x)=sqrt(x) är en funktion med en variabel. Det innebär att varje värde i definitionsmängden du matar in endast kan få ett värde tillbaka. Två inmatningsvärden kan ge samma svar, tex. g(x)=x^2 som ger samma svar när du matar in x=-4 eller x=4 dvs. 16.

Skulle ett inmatat värde kunna ge två svar spricker funktionsbegreppet.

Logik är förmågan att resonera rätt med givna premisser. Av logiska skäl är alltså roten ur valt på samma sätt.

Av logiska skäl är också √36 bara just 6. Vi hade likväl kunnat välja -6. Men konventionen är att för alla icke injektiva funktioner som vi vill skapa en invers till på ett visst injektivt intervall väljer man detta intervall så att värdemängden av inversfunktionen innehåller element nära 0 och de skall dessutom även vara positiva.

För roten ur var det då självklart att välja att värdemängden är från 0 till ∞. Vi hade dock lika gärna kunnat välja 0 till -∞ som värdemängd. Något måste dock väljas och detta kallar vi sedan roten ur.

Man kan sedan om man vill skapa en special-roten-ur som har värdemängden 0 till -∞. Men då måste man ange detta tydligt att det inte är den vanliga roten ur så att säga.

Du har missförstått skapelsen av inversfunktionen roten ur. Men av konventionella skäl är det behändigt att vi väljer att värdemängden till roten ur är just positiva reella tal och 0, eftersom vi i så många sammanhang vill ha en positiv värdemängd och inte en negativ.

Ett av dessa sammanhang du anger är just hur vi har definierat längder.

Vi hade lika gärna kunnat säga att roten ur har den negativa värdemängden, men det vore dumt eftersom vi i många sammanhang MÅSTE använda den invers som ger den positiva värdemängden. Vi hade då alltså behövt standardisera två stycken funktioner. Nu har vi bara standardiserat en och det räcker gott och väl eftersom det enkelt kan lösas med en annan funktion, nämligen f(x) = -x. Helt enkelt att multiplicera med -1.

Du verkar bara ha fel. Vad är det för logiskt fel du är ute efter?

(Vad är det med korkade männiksor och frågor om utbildningar? Jag är doktor i matematik och jag är civilingenjör. Varför är du på flashback om du bryr dig om sådant?)

Jo, jag ska väl erkänna att jag inte vet hur roten ur uppstod och jag påstod egentligen inte att det var på grund av vektorer och deras längder, jag menade mest att det verkar som en rimlig anledning (bland flera andra förstås).

Själv är jag raketforskare (in my mind).

Förstår inte riktigt hur den här tråden kunnat bli så lång...

Jag är övertygad om att en stor del av förvirringen härrör från läroböcker som slarvar när de beskriver lösningarna till ekvationen x^2 = a (a>=0). De skriver då oftast x = +sqrt(a) eller x=-sqrt(a). De olika tecknen härrör dock inte från kvadratroten ur a, utan från kvadratroten ur x^2 som är |x|, d v s +x för x>=0 och -x för x<=0. Så stegen är egentligen

x^2 = a (kvadratroten ur båda sidor)

|x| = sqrt(a)

Som alltså blir

+x = sqrt(a) eller -x = sqrt(a)

Det vill säga

x = sqrt(a) eller x = -sqrt(a)

Varför har man för övrigt valt att definiera kvadratroten av ett positivt reellt tal a som endast det positiva reella tal vars kvadrat är a och inte plus eller minus detta reella tal?

* f(x) = sqrt(x) ska vara en funktion
* räknereglerna för kvadratrötter blir en smula skakiga om vi låter t ex sqrt(25)=5 eller sqrt(25)=-5

Vi får ju då (om vi plötsligt kan välja plus eller minus) t ex att

25 = sqrt(25)*sqrt(25) = -5 * 5 = -25

Kan man alltså sammanfatta det som att man kan säga att √36 = -6, men att det är lika rätt som att säga "Jag vill ha en äpple?".

Du kan säga att √36 = -6 men då måste du ha definierat vad "√" betyder i sammanhanget. Du kan säga att √36 = 6 med gott samvete då detta är den vedertagna definitionen om vad "√" är (den positiva kvadratroten av ett reellt, positivt tal).

Nej, inte av logiska skäl, utan av praktiska skäl. Vore det ologiskt att definiera sqrt(36) = +-6 så vore det lika ologiskt med samtliga flervärda funktioner. Jag står fortfarande fast vid min åsikt att det är bättre att inkludera båda grenarna i definitionen och sedan veta vad man håller på med och utifrån det avgöra om man vill ha den positiva, den negativa eller båda.

Annars får man frågor som "men i den här uppgiften (som var en ekvation) så skulle jag ju ha +-, varför får jag inte ha - i den här uppgfiten (som var ett tal och inte ekvation)?
Så säger läraren ett nonsenssvar typ "ja men det är en ekvation och då skall man ha båda"...

Nej, få folket att förstå vad de håller på med istället för att sätta upp specialregler lite godtyckligt.

EDIT:
Jag vet att jag har konsensus emot mig, men ibland vill man slåss mot väderkvarnar...