En rektangels area (svår!!)

Varför skulle man alltid kunna göra det?


För femtioelfte gången: Man summerar inte ett oändligt antal gränsfigurer som saknar area!!! Man tar arean av varje figur på vägen dit, och så tar man gränsvärde av dessa areor. Det är ett gränsvärde av areor, alltså av reella tal.

På första frågan: om den arkimediska egenskapen gäller både på längd och bredd, så har du alltid två rationella tal du kan gånga med varandra, och det kan väl alltid tolkas som en area, eller?
På andra frågan: jag har fortfarande inte fattat hur rektanglarna i riemannintegralen kan var för sig ha en gränsfigur som saknar area, men som sammanslagna kan ge en area?

Det är ju bara att använda Weierstrass gränsvärdesdefinition, Cauchy-följder och Dedekindsnitt...

Det är inte konstigare än att man kan mulitplicera med 0 men vi kan inte dividera med 0.

Ja det var det jag trodde...

Jo det tycker jag allt, mycket konstigare till och med.

Skulle man inte kunna ställa upp ∞*1/∞=1
Där är 1/∞ den oändligt korta sidan och ∞ den oändligt långa. Arean måste väl vara 1 ae.

Jag trodda att man kunde ställa upp x * 1/x och låta x gå mot oo och få arean 1, men det verkar inte gå...

Intuitiv tolkning (nog för att jag rekommenderar att du läser på kring bevisföringen som gjorts i tråden): det är för att du separerar det hela när du säger att ena sidan är x och andra är 1/x. Tar du var sida för sig så ser du ju att höjden (eller bredden) går mot noll och det är det enda du behöver fundera på, eftersom nästa vettiga steg på jakten efter en area är att hitta inre punkter som inte ligger på randen.

Sen så förstår jag inte riktigt varför du hakar upp dig på Riemannintegralen. Du får lov att skilja på gränsvärdesfigurer och de rektanglar man summerar. Återigen; tänk på någon annan summering - typ 1/2^n. Oavsett hur långt du summerar för n=1..k så kommer du aldrig stöta på en nollterm, trots att gränsvärdet för 1/2^m för m->inf = 0.

Tack!
Så perfektion är inte tillräckligt bra för dig?

Jag är osäker på vad du är ute efter här. Den arkimediska egenskapen hos R innebär att för varje reellt tal x > 0 så finns ett positivt heltal n sådant att 1/n < x, dvs att det inte existerar infinitesimaler ("oändligt små tal", dvs tal ≠ 0 vars belopp är mindre än 1/n för varje positivt heltal n) i R. Så om vi säger att vi har en "oändligt smal" rektangel i R² så är den enda rimliga tolkningen att åtminstone den ena sidans längd är 0.

Vi räknar ut arean av triangeln som ges av punkterna (0,0), (1,0) och (1,1) (arean är såklart 1/2).

Arean kan beräknas genom att integrera f(x) = x, från 0 till 1. Vi approximerar arean genom att dela in området i rektanglar och låter sedan indelningen bli finare och finare, t.ex. genom att vi delar in området i n stycken rektanglar r_{j,n}, j = 1,2,…,n som har sidorna (j - 1)/n och 1/n. Varje rektangel har arean A(r_{j,n}) = (j - 1)/n(1/n) = (j - 1)/n². Triangelns area är

lim_{n → ∞} sum_{j = 1 to n} A(r_{j,n})
= lim_{n → ∞} sum_{j = 1 to n} (j - 1)/n²
= lim_{n → ∞} (1/n²) sum_{j = 1 to n} (j - 1)
= lim_{n → ∞} (1/n²)n(n - 1)/2
= lim_{n → ∞} (1/2 - 1/(2n))
= 1/2.

Arean av approximationerna är alltså 1/2 - 1/(2n), n = 1,2,…, vilket är ändliga tal som fås genom att summera arean av ett ändligt antal rektanglar vars areor är större än noll. När n → ∞ kommer arean av approximationerna allt närmare 1/2 vilket är arean av triangeln. Visst, om du tittar på enskilda rektanglar i approximationen så blir de allt smalare (och arean av varje sådan rektangel går mot 0 när n → ∞), men de blir samtidigt allt fler, och dess sammanlagda area är 1/2 - 1/(2n) vilket går mot 1/2 när n → ∞.

Men om vi försöker att vända på förfarandet (vilket jag har fått intrycket av att du ibland lutar åt att se som ekvivalent med metoden ovan) och först ta gränsvärdet för arean av varje rektangel (vilket är 0) och sedan summera ett oändligt antal av dessa, dvs så här

sum_{j = 1 to ∞} lim_{n → ∞} A(r_{j,n}) = sum_{j = 1 to ∞} 0 = 0,

så fungerar det ju uppenbarligen inte.

Man kanske kan tycka att man borde kunna resonera ungefär såhär: Om vi "skär ut ett vertikalt snitt" ur triangeln vid något x mellan 0 och 1 så får vi ett linjesegment. Och om vi för varje x∈[0,1] gör detta så borde vi rimligtvis kunna räkna ut arean av varje sådant linjesegment och sedan summera dessa areor för att få arean av triangeln (triangeln består ju trots allt av dessa linjesegment).
(Notera att det inte alls är så här man gör i Riemannintegralen.)

Försöker vi göra detta får vi problem eftersom [0,1] (dvs alla reella tal x sådana att 0 ≤ x ≤ 1) är överuppräkneliga.
(http://sv.wikipedia.org/wiki/%C3%96veruppr%C3%A4knelig)
Vi kan helt enkelt inte räkna upp [0,1] som x_1, x_2, x_3, … och därför inte "snitta upp" hela triangeln i linjesegment L_1, L_2, L_3, …. Om vi försöker att göra detta så kan vi hålla på hur länge som helst, vi kommer ändå inte att ha tagit bort något av "substans" (även om vi tar bort oändligt många linjesegment). Det som finns kvar av triangeln kommer hela tiden att ha arean 1/2 (även om vårt förfarande "förstör" triangeln så pass mycket att vi inte längre kan använda Riemannintegralen för att räkna ut arean av det som finns kvar, så kan vi använda Lebesgueintegralen och se att arean fortfarande är 1/2). Räkna t.ex. upp de rationella talen mellan 0 och 1, och för varje sådant tal q skär bort linjesegmentet {(x,y)∈R² : x = q, 0 ≤ y ≤ q}. Arean av området som blir kvar fås genom att integrera funktionen f som ges av f(x) = x om x∈[0,1]\Q och f(x) = 0 om x∈[0,1]∩Q från 0 till 1. Denna funktion är inte Riemannintegrerbar, men den är Lebesgueintegrerbar och ger arean 1/2.

Den arkimediska egenskapen på R betyder inte att varje mängd har en längd.
Därmed kan man förstå att inte varje mängd i R² har en area.

Ena sidan är oändlig, aight? Andra sidan är oändligt liten, men inte noll (den går mot noll), aight? Arean är således [skitlitet tal] x [oändligt], aight? Är det så, då är arean oändlig. Är ena sidan dock noll, så är arean [noll] x [oändligt] = 0. Aight?