En rektangels area (svår!!)

Har du inte någon annan kommentar på mitt tidigare inlägg?
Några svar på frågorna kanske?

Det känns lite meningslöst, jag förstår inte varför du ska ha två funktioner när det räcker med en? Men visst, ge ett exempel på när det saknas en inre punkt i rektangeln som spänns upp av 5x och 1/x, x->oo.

Jag förstår inte vad du menar med ÄNDÅ? Men det avslöjar rätt mycket om din person.

Hur menar du? Du har väl också två funktioner f(n) = 5n och g(n) = 1/n.
Du menar alltså att "gränsområdet" inte ser ut såhär

R = {(x,y)∈R² : x ≥ 0, y = 0}.

Hur ser det ut?
Låt ε > 0. Betrakta punkten p = (1, ε). Då finns ett N sådant att p ligger utanför alla R_n för n > N.
(Om vi t.ex. har valt g(n) = 1/n så duger N > 1/ε.)
Alltså innehåller gränsområdet inga punkter utanför linjen y=0.

Vad menar du att det avslöjar om min person?
Hur kommer det sig att du högg på det här nu och inte i det tidigare inlägget?

Jag menade att han borde ha kunnat ge ett bättre svar även med tanke på att det var ett tag sedan han doktorerade och jobbade som lektor.

Jag har EN funkton, 5x*1/x. Angående inre punkten fattar jag ingenting av vad du menar...

Jag högg inte för jag tyckte det kändes meningslöst.

En funktion för arean ja, och det har jag med, f(n)g(n).

Det jag menade med punkter var detta.

Vi kan ta ett exempel. Tänk att vi har rektanglar
R_n = {(x,y)∈R² : 0 ≤ x ≤ 5n, 0 ≤ y ≤ 1/n}.

Låt p = (1, 0.01). Om vi väljer N = 100 så följer det att
p ligger utanför R_n för all n > N.

p ligger ju utanför
R_101 = {(x,y)∈R² : 0 ≤ x ≤ 505, 0 ≤ y ≤ 1/101},
R_102 = {(x,y)∈R² : 0 ≤ x ≤ 510, 0 ≤ y ≤ 1/102},
o.s.v. eller hur?

Hur litet tal ε > 0 vi än väljer så kan vi alltid välja ett N (om vi väljer det tillräckligt stort) så att
p = (x, ε) ligger utanför R_n för all n > N.
För x ≥ 0 och ε ≥ 0 är det endast för ε = 0 det inte är möjligt att hitta något sådant N.
Alltså kan inte någon punkt som ligger utanför
{(x,y)∈R² : x ≥ 0, y = 0}
tillhöra "gränsområdet".

Jag vet varken vad du tycker var fel med min kommentar eller vad du anser att det säger om min person. Förklara gärna det.
Jag lägger ned lite tid här och försöker att vara hjälpsam.

Jag tycker också att svaret var rätt fattigt faktiskt.

Jag menar ju att hur långt man än går mot oändligheten så kan jag alltid hitta en punkt som ligger i en rektangel med gränsvärdet 5. Jag menar inte att du inte kan visa på punkter som ligger utanför, det är ju inte så svårt att hitta punkter som ligger utanför! Jag tyckte mig utläsa en viss arrogans när du skrev att han doktorerade för 23 år sedan, jag hade säkert fel, sorry

Grejen är att ALLA punkter utom de där y=0 kommer ligga utanför alla rektanglar R_n för ett tillräckligt stort värde på n.

Alla rektanglar 5x*1/x har arean 5, och visst de har inre punkter, men gränsrektangeln när x går mot oändligheten kommer ha ena sidan 0(!) och därmed är dess area 0 (saknar inre punkter!).

Du missförstod mig nog. Jag avsåg inte bara att hitta någon punkt som låg utanför någon rektangel, utan hitta punkterna som rimligtvis måste ligga utanför "gränsområdet".

Säg att vi utgår från rektanglarna

R_n = {(x,y)∈R² : 0 ≤ x ≤ 5n, 0 ≤ y ≤ 1/n}, n = 1,2,...

Vi har alltså en följd av rektanglar R_1, R_2, ... där alla har arean 5.
Vi låter n → ∞ och tänker oss att rektanglarna "konvergerar" mot ett "gränsområde".
Exakt vad vi menar med detta har vi tyvärr inte preciserat.
Hur ser gränsområdet ut?
Låt p vara en punkt i R². Vi har ju som sagt inte preciserat vad vi menar, men det är väl åtminstone rimligt att betrakta det som att p tillhör gränsområdet om det finns ett M sådant att p tillhör R_n för alla n > M (dvs någonstans i följden finns en rektangel sådan att den och alla efterföljande rektanglar innehåller p) och att p definitivt inte tillhör gränsområdet om vi kan hitta ett N sådant att p ligger utanför R_n för alla n > N (dvs någonstans i följden finns en rektangel sådan att varken den eller någon av alla efterföljande rektanglar innehåller p).

Det jag visade var att det för varje punkt utanför

R= {(x,y)∈R² : x ≥ 0, y = 0}

finns en rektangel sådan att varken den eller någon av alla efterföljande rektanglar innehåller punkten.
Det är även lätt att visa att för varje punkt i R så kan man rektangel sådan att den och alla efterföljande rektanglar innehåller punkten.
Alltså, det enda rimliga är att R är vårt "gränsområde".

Ok, no hard feelings.