Motivera rötter i andragradspolynom med olikhet och Discriminant

Varför har 0 ≤ at² +bt + c inga reella rötter alternativt en reell dubbelrot och varför måste olikheten med polynomets discriminant b² -4ac ≤ 0 följa av detta?

Likheten 0 = at² +bt + c kan visst ha reella rötter. Jag tror att du har missförstått uppgiften. Är inte uppgiften att visa att 0 = at² +bt + c saknar reella rötter om och endast om b² -4ac ≤ 0 ?

0 = at² +bt + c = a (t² +bt/a + c/a) = a ((t +b/(2a))² + (c/a - (b/(2a))²))
= a ((t +b/(2a))² + (4ac - b²)/(4a²))
har reella lösningar omm (4ac - b²)/(4a²) ≤ 0, dvs omm 4ac - b² ≤ 0.