[Kvantmekanik] Hitta energinivåerna av en väteliknande atom

Hamiltonien för en väteliknande atom är H = -ħ²/2m ∇² - Ze²/(4πε₀r)

Jag vet egenvärdet E = -me⁴/(32π²ε₀²ħ²n²) för Z = 1, från det ska jag försöka få fram energiegenvärden för alla Z.

Jag har svårt att komma igång, måste jag lösa schrödingerekvationen i sfäriska koordinater och kasta bort resultat eller finns det något mycket enklare sätt? Kurslitteraturen tar inte upp det här över huvud taget.

Nej, du behöver inte lösa Schrödinger-ekvationen. Som du ser är ditt svar för Z=1 detsamma som potentialen, -Ze²/(4πε₀r), bara att de har satt in radien också. Eftersom Z bara är en konstant följer den med de övriga konstanterna igenom lösningen på precis samma sätt och du får även ett Z från radien. Därmed multiplicerar du den energi du har fått given med Z^2.

Men potentialen har ju e²,π,ε₀-termer när E har e⁴,π²,ε₀²-termer? Vilken ekvation är det som bestämmer övergången mellan de två?