Sannolikhetsteori - momentgenererande funktion

Problem:Låt Mx(t) = 4*(2-t)^-2 vara en momentgenererande funktion. Beräkna P(1 <= X <= 2)
Lösning: Mx(t) = (2/(2-t))*(2/(2-t)). Från sats så gäller Mx(t) = My(t)*Mw(t), där Y och W är oberoende samt X = Y + W. My(t)=Mw(t)=(2/(2-t)) vilket är momentgenererande funktion för en stok. var. som följer en exponentiell fördelning med parameter lambda = 2. Så X är en summa av två oberoende stok. var. som följer exponentialfördelningar, alltså måste X följa en Erlang fördelning?

Mx(t)' = 8*(2-t)^-3 , Mx(0)' = 1
Mx(t)''= 8*(3)*(2-t)^-4, Mx(0)''= 8*3/(2^4)=3/2

=> E(X) = 1, V(X) = 3/2. Detta stämmer inte överens med Erlang fördelningen med parameter k = 2 lambda = 2.

Finns det något bättre sätt att tackla en sån här uppgift?

M''(0) ger dig andra momentet, dvs E(X²) och inte variansen. Variansen är alltså V(X) = E(X²) - E(X)² = 3/2 - 1 = 1/2.

Du har lite konstig approach till problemet. Du använder dig av mgf för att ta fram fördelning för den nya s.v. X. Nu har du mgf för X, så försöker du visa att det är en summa av två stycken s.v. sen går du tillbaka och säger att det är en erlangfördelning, men om detta är fallet så måste mgf för X vara den för en erlangfördelning (eller Gamma).

Så M_X(t) = 4/(2-t)^2 = 4/(2*(1 - t/2))^2 = 1/(1-t/2)^2, d.v.s. X ~ Gamma(2,1/2).

Vet inte om du kanske skriver att Y resp. W är Exp(1/a), men man brukar iaf skriva Exp(a), och i fallet då M_Y(t) = 2/(2-t) = 2/(2*(1-t/2)) = 1/(1-t/2) är Y alltså Exp(1/2).

Så då har du din fördelning och då kan du räkna ut sannolikheten.

Låt oss säga att det istället var givet att X = Y + W och Y resp. var två oberoende s.v. med fördelning Exp(1/2), då hade du använt dig av att M_X(t) = M_Y(t)*M_W(t) o.s.v.

Ja fan, missade det.


Okej, tack.