Sannolikhetsproblem

Tja,

jag har studerat lite sannolikhetslära och i mitt huvud kom jag på ett eget problem som jag dock inte lyckas lösa, därför vänder jag mig nu hit. Problemet låter inte så svårt när man ser det så det kan mycket väl vara så att jag bara missat nån faktor som behövs för att lösa det.

Problemet:

Vi låtsas att vi har en vägg som har 100 HP (står för healthpoints, ja det kanske verkar skumt men det blir tydligast så tror jag).

Mot denna vägg avfyras 4 kanonkulor som alla sänker väggens healthpoints med 20-35, exakt hur mycket HP varje kanonkula sänker inom det spannet är helt slumpmässigt.

Min fråga är nu: hur stor är sannolikheten att väggens HP efter att ha blivit träffad av samtliga kanonkulor ligger på 0 eller lägre?

Vore tacksam om man kunde få en uträkning av en lite pedagogisk variant
Tackar!

Eftersom skadan är slumpmässig, så borde du då kunna dö på en träff. Rätt omöjligt att svara på om inte skadevariabeln är angiven.

Hur mycket skyddar väggen är viktigt att veta också.

56821/16^4

pedagogiskt nog?

Du vet ju det förväntade värdet och standardavvikelsen/variansen så bör väl inte vara några problem att hitta sannolikheten för ett visst värde från en vanlig normalfördelningstabell?

Lite rostig vad gäller matten men är ju sånt man lär sig i första statistikkursen på högskola vill jag minnas

Problemet är bara att det inte finns något som tyder på att det rör sig om normalfördelning. Sannolikheten för ett givet utfall under normalfördelning är, som du säkert kommer ihåg, alltid > 0. Yoonice säger att varje kanonkula gör en skada på 20-35. Rimligast vore nog att anta att man här har en likforming, och eventuellt diskret (heltal), skada. Alltså:

D(x) = 1/16, 20 ≤ x ≤ 35
D(x) = 0, o.w.

Om man sedan definierar en ny stokastisk variabel Y(x) = ∑(0..3) D_i(x) så är den sökta sannolikheten
P(Y(x) ≥ 100)
Man får också anta att D_0 ... D_3 är oberoende.

Nu var det ett tag sedan jag läste matematisk statistik, men jag är ganska säker på att E(A + B) = E(A) + E(B), alltså att väntevärdet av summan av två (eller flera) stokastiska variabler är lika med summan av väntevärdena. För variansen av summan gäller samma sak om kovariansen är noll (vilket den är om variablerna är oberoende). Alltså har man att
E(Y) = ∑E(X_i) = 27,5*4 = 110, och
V(Y) = ∑V(X_i) = 4 * 1/12(35-20)² = 75 (standardavvikelse på ca 8,7).

Det är ungefär 67% chans att man hamnar ± 1 standardavvikelse från väntevärdet, vilket alltså utgör intervallet 101,3- 118,7. Av de resterande 33% hamnar hälften över 118,7 och hälften under 101,3 (jag antar att fördelningskurvan av Y är symmetrisk kring väntevärdet, vilket den väl måste bli?). Sannolikheten för att hamna under 101,3 är alltså ca 16,5%. Någon annan som är bättre på statistik (som sagt, många år sedan jag läste det) får gärna ge ett exakt svar på din fråga.

Jag tror att Lysburk har rätt svar. Jag lyckas inte komma på hur man löser detta analytiskt. Finns säkert massa olika sätt att lösa det på men jag tänker kombinatoriskt.

Vi vill veta på hur många sätt vi kan få 100hp eller mer i skada med 4 skott. Varje skott har 16 olika utfall med lika stor sannolikhet för varje utfall.

första skottet kan göra skada på 16 olika sätt. För varje skott kan nästa skott göra skada på ytterligare 16 olika sätt. Vi har nu 16*16 olika sätt att skjuta två skott. För varje tillagt skott måste vi alltså multiplicera med 16. Vi får då:

16^4 möjliga utfall av gjord skada. Vi vill veta hur många av utfallen som har en summa som är >= 100.

Sannolikheten att 4 skott ger 100 hp eller mer måste alltså vara antal skott var summa >= 100 dividerat med totalt antal skott.

Ett litet skript gav mig resultatet 56821 utfall ger hp >= 100. Svaret är alltså

56821/16^4 ~ 0.87

Verkar stämma bra. Jag gjorde ett program som slumpar N stycken test om fyra kanonkulor. Healthpointen kunde vara decimaltal mellan 25 och 35. Sannolikheten konvergerade mot 87 %.

Smart! Alltid ett bra sätt att kontrollera att man räknat rätt med sannolikheter, simulera förloppet.

Rättning. Det jag skrev går självklart att räkna ut analytiskt genom att ta reda på alla kombinationer som ger hp >= 100, men det kommer ta rätt lång tid att räkna upp alla 56821 utfall för hand.

Vet någon om något smart sätt att räkna upp alla dessa utfall?

Tror att denna sidan kan hjälpa: Sums of dice throws

Det smartaste är nog att räkna de kombinationer som ger hp<100, och subtrahera från totala.

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator

På vilket sätt är det enklare? Det är snarare än optimering när alla utfall ska tas fram. kan du lösa det analytiskt om vi vänder på olikheten?