Några matematiska problem | Hjälp!

Hej, jag läser just nu Matematik 3b på komvux och har prov om några dagar och skulle behöva lite hjälp! Här är några uppgifter jag fastnat på

1. Lös ekvationen
a) 10 000 * x^16 = 25 000
b) Ge exempel på en situation som skulle kunna ge upphov till ekvationen ovan

2. Bestäm extrempunkten till funktionen, y = x^2+8x+15
Avgör om det är ett max eller min.

3. Antalet grävlingar i Sverige var 800st år 1980. 20 år senare var antalet 16 000. Vilken var den procentuella förändringen per år om tillväxten var exponentiell?

4. Lös följande ekvationer
a) x^3-81x=0
b) x^4-7x^3-8x^2=0

5. En boll kastas rakt upp i luften. Bollens höjd h (m) kan beskrivas enligt. h = 10t-5t^2+1 där t är tiden i sekunder från kastögonblicket
a) från vilken höjd över marken kastas bollen?
b) Hur högt når bollen som mest?
c) När slår bollen i marken?

Har du kommit nånstans på uppgifterna?

5a t.ex. hur har du tänkt där? Du har höjden som en funktion av tiden.

På 1a kan du börja med att dividera båda led med 10000.

2. En extrempunkt är ett lokalt max eller min. För polynom gäller det att deras derivata är 0 i extrempunkter.

Jag är ingen höjdare på matematik, första uppgiften var jag lite osäker om jag skulle dividera leden eller subtrahera sen kan jag inte heller komma på ett exempel på en situation. Så första uppgiften blir något i stil med?

x^16 = 2.5
(x^16) ^ 1/16 = 2.5 ^ (1/16)
x = ~1,058939

Ska man använda sig utav pq formeln på uppgift 2?

Första uppgiften är korrekt uträknad. Formeln är 10 000 multiplicerat med ett tal 16 ggr. Detta skulle kunna vara en modell för ränta (den vanligaste typen av exempel för dessa typer av uppgifter vågar jag säga). Så "Matte sätter in 10000 kr på en bank. Efter 16 år har han 25000 kr. Hur hög var räntan?"

Andra uppgiften:
Nej du ska hitta var din funktion har lutningen 0. Lutningen för en funktion ges (i varje punkt) av dess derivata.

Jag är fortfarande lite osäker på hur jag ska göra på den andra uppgiften, jag vet att det är ett minimum då x^2 termen är positiv, jag är även medveten om att i en extrempunkt är lutningen 0 men hur jag ska lösa uppgiften vet jag inte, ska den deriveras och sättas = 0?

På den tredje uppgiften, är detta helt åt helvete?

år 1980 = 800
år 2000 = 16 000

16 000/20 = 800

800/16 000 = 1.05 = 5% ökning per år?

Ja, precis. Vi har y(x) = x² + 8x + 15 och y'(x) = 2x + 8. Genom att y'(x) = 0 får vi 2x + 8 = 0 vilket ger x = -4. Extrempunkten är som sagt ett minimum, vilket lätt inses genom att koefficienten framför x²-termen är positiv (> 0). Detta kan även redas ut genom att kika på andraderivatan om man vill det, men argumentet som getts är tillräckligt.

Om jag inte är helt ute och cyklar kan du kolla vilken punkt som är en extrempunkt med derivatan, och sedan kolla om det är en minimi- eller maximipunkt med andraderivatan.

y = x^2 + 8x + 15
y' = 2x + 8

2x + 8 = 0
2x = -8
x = -8/2 = -4

y'' = 2 > 0 = minimipunkt

Har ännu inte lärt mig andra derivatan men måste jag även kolla med teckenstudium om detta är det lägsta möjliga eller är det givet :s?

Har försökt lösa uppgift nr 4 och tror jag har löst uppgift a), se nedanför. Dock har jag fastnat helt på uppgift b
Det kan skrivas om som, (x-9)x(x+9) = 0
x1 = 9
x2 = -9
x3 = 0

Stämmer detta?

Ja, det kan du göra om du vill.

x < -4: y'(x) = 2x + 8 = 2(x + 4) < 0
x = -4: y'(x) = 0
x > -4: y'(x) = 2(x + 4) > 0

Alltså gäller att för x < -4 att y(x) är avtagande, i x = -4 har vi en punkt där y'(x) = 0 och för x > -4 är y(x) växande. Alltså representerar x = -4 ett lokalt (och globalt för den delen) minimum.

Ett annat alternativ är att helt enkelt kvadratkomplettera.

y(x) = x² + 8x + 15 = (x + 4)² - 4² + 15 = (x + 4)² - 16 + 15 = (x + 4)² - 1

Här kan vi utläsa direkt då (x + 4)² ≥ 0 att minimum antas i x = -4 och är lika med -1.

På uppgift 5 så vet jag hur jag löser uppgift a men för att lösa b och c vet jag inte hur jag ska göra, tänkte först att jag skulle kunna ta en tid kanske 0,5 sekund, 1 sekund, 1,25 sekunder, 1.5 sekunder, 2 sekunder för att se när värdena minskar och på uppgift c underskrider 0, tror inte heller jag får använda grafritaren till denna uppgift så ja... några tips?

Tack för hjälpen med uppgift 1 och 2

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator

Tja, sök helt enkelt maximum genom att lösa h'(t) = 0 eller genom att kvadratkomplettera h(t). Bollen kastas från höjden h(0) = 1 [m] så rimligtvis slår bollen i marken då h(t) = 0 [m], så lös den ekvationen (du kommer få två lösningar, men vilken är den du eftersöker?)