Har svårt att förstå det här med "skjuvspänningar"

För att kunna rita diagram behöver vi veta V och M i olika positioner längs balken. Låt oss därför lägga ett snitt sträckan x från väggen (0 < x < L).

Bild

Jag kommer använda beteckningen [P(x)] som antingen kan tolkas som en kommentar om att bara ta med termen om P(x) är sann eller som en faktor som är 1 om P(x) är sann, 0 annars.


Krafter

På vänstra halvan verkar följande krafter:

• Infästningskraften V_I uppåt
• Skjuvkraften V(x) nedåt
• Mittre belastningen P nedåt om x > L/2

█ [1] Kraftbalans kräver V_I - V(x) - P [x > L/2] = 0.

På högra halvan verkar följande krafter:

• Skjuvkraften V(x) uppåt
• Ändbelastningen P nedåt
• Mittre belastningen P nedåt om x ≤ L/2

Kraftbalans kräver V(x) - P - P [x ≤ L/2] = 0.


Moment

På vänstra halvan verkar följande moment relativt infästningspunkten:

• Infästningsmomentet M_I moturs
• Momentet från skjuvkraften V(x) x medurs
• Momentet i balken M(x) medurs
• Momentet från mittre belastningen P L/2 medurs om x > L/2

█ [2] Momentbalans kräver M_I - V(x) x - M(x) - P L/2 [x > L/2] = 0.

På högra halvan verkar följande moment relativt snittpunkten:

• Momentet i balken M(x) moturs
  █ [3]
• Momentet från skjuvkraften V(x) 0 med-/moturs (det är ju noll)
• Momentet från ändbelastningen P (L-x) medurs
• Momentet från mittre belastningen P (L/2-x) medurs om x ≤ L/2

Momentbalans kräver M(x) ± V(x) 0 - P (L-x) - P (L/2-x) [x ≤ L/2] = 0


Ekvationslösning

Vi har således 4 ekvationer:
V_I - V(x) - P [x > L/2] = 0
V(x) - P - P [x ≤ L/2] = 0
M_I - V(x) x - M(x) - P L/2 [x > L/2] = 0
M(x) ± V(x) 0 - P (L-x) - P (L/2-x) [x ≤ L/2] = 0

Vi har i dessa ekvationer 4 obekanta: V_I, V(x), M_I, M(x).

█ [4] Om vi summerar de 2 kraftekvationerna får vi
(V_I - V(x) - P [x > L/2]) + (V(x) - P - P [x ≤ L/2]) = 0.
Notera att [x > L/2] + [x ≤ L/2] = 1 så P [x > L/2] + P [x ≤ L/2] = P.
Ekvationen förenklas sålunda till V_I - 2 P = 0 med lösningen V_I = 2 P.
Detta kan förstås utläsas direkt ur konstruktionen.

Vi kan också få ut V(x) ur den andra ekvationen:
V(x) = P + P [x ≤ L/2]
För x ≤ L/2 gäller alltså V(x) = 2P, medan för x > L/2 gäller V(x) = P.

Om vi summerar de 2 momentekvationerna får vi
(M_I - V(x) x - M(x) - P L/2 [x > L/2]) + (M(x) ± V(x) 0 - P (L-x) - P (L/2-x) [x ≤ L/2]) = 0
█ [5] som förenklas till
M_I - V(x) x - (3/2) P L + P x + P x [x ≤ L/2] = 0.

Insättning av V(x) = P + P [x ≤ L/2] ger
M_I - (P + P [x ≤ L/2]) x - (3/2) P L + P x + P x [x ≤ L/2] = 0
som förenklas till M_I - (3/2) P L = 0 med lösningen M_I = (3/2) P L
Även detta kan utläsas direkt ur konstruktionen: M_I = P L + P L/2 = (3/2) P L.

Ur fjärde ekvationen kan vi lösa ut M(x):
M(x) = P (L-x) + P (L/2-x) [x ≤ L/2]
För x ≤ L/2 gäller alltså M(x) = P (L-x) + P (L/2-x) = P (3L/2 - 2x), medan för x > L/2 gäller M(x) = P (L-x).

Hur har de riktat momenten? Alltså, räknar de momentet positivt medurs eller moturs på vänstra delen?

[1] Okej, då räknar man alltså inte att infästningskraften är lika stor som den är om man räknar på hela balken.

[2] Borde inte ekvationen vara M_I - V(x) x + M(x) - P L/2 [x > L/2] = 0
(M_I och M(x) går ju åt samma håll, då borde de ju förstärka varandra istället?)

[3] Jahaa, men räknar alltså så, trodde man skulle ta V(x)(L-x), men då kanske momentet skulle bli runt ändpunkten istället?

[4] Ja så kan man göra kanske!

[5] Förstår inte hur du gjorde den förenklingen. Hur fick du bort den ena grejjen med [x > L/2]?

Det står inte. står bara såhär i facit: 5/126 M=-PL/2. .

Jag sätter inte in någon kunskap om dess storlek, men jag får ju fram det under [4].



Det har du rätt i. Men jag inser nu att jag inte har ritat bilden som jag tänkte när jag räknade (räknade först, gjorde bilden sedan). M(x) skall gå på andra hållet.



Det går nog lika bra att räkna momentet kring ändpunkten i stället. Jag överlämnar det som en övning (och ett test) för dig att ställa upp momentbalansekvationen i det fallet.



Litet omständligt insåg jag i efterhand. V_I och M_I kan ju enklast bestämmas mer direkt genom kraft- och momentbalans på hela balken.



- P L/2 [x > L/2] - P (L/2-x) [x ≤ L/2] = - P L/2 [x > L/2] - (P L/2 [x ≤ L/2] - P x [x ≤ L/2])
= - P L/2 [x > L/2] - P L/2 [x ≤ L/2] + P x [x ≤ L/2]
= - P L/2 ([x > L/2] + [x ≤ L/2]) + P x [x ≤ L/2]
= - P L/2 + P x [x ≤ L/2]
eftersom [x > L/2] + [x ≤ L/2] = 1.



Då har boken kanske en praxis för åt vilket håll moment räknas.

Tackar! Känns verkligen som jag börjar förstå det här nu. Men trots det får jag fel, på uppgiften efter, trots att det kändes helt rätt, får väl hoppas på något slarvfel.

Här är uppgiften som allt kändes bra på, men svaret blev fel:
http://i48.tinypic.com/34yo8t3.png

Såhär ser min uträkning ut:
http://i48.tinypic.com/mku8g7.jpg

Fick ju att M=-325x innan stödet där x=4.2 och att M=175x-2100 efter stödet.
När jag stoppar in 4.2 i ekvationerna får jag -1365, istället för -1488, som det står i facit att momentet ska bli.

Vad kan jag gjort för fel? känns ju helt rätt.

Hur många tum går på en fot?

Om läraren skulle börja undra över notationen [x < L/2] så kan det vara bra att ha en referens:
http://sv.wikipedia.org/wiki/Iversonklammer