Svår komplextals uppgift

Hej jag skulle vilja ha hjälp med följande fråga:

Lös ekvationen z^(4) = z + z**

Observera alltså att z** har ett streck ovanför sig (det är z konjugat)

Det jag vet är att:
z = a + ib
z** = a - ib

men jag vet inte riktigt hur jag ska utveckla och hur sen lösningen skall skrivas
Tack på förhand

Hej, tänkte så här på min lösning:

z* är konjugatet av z

z^4 = z + z* har lösningen z=0 och reella koefficienter så
den har alltså två reella lösningar och ett komplexkonjugerat rotpar

2:a reella lösningen: z^4 = 2*z (z reell)
dela med z, vilket ger z^3 = 2 som har lösningen z = 2^(1/3)

de komplexa lösningarna: jag satte z = a + ib, z* = a - ib
och utvecklade ekvationen mha pascals triangel

(a+ib)^4 = 2*a

a^4 + 4a^3*bi + 6a^2*b^2*i^2 + 4ab^3*i + b^4*i^4 = 2a

gör om i:na och samla ihop till en ekvation för realdelen och en för imaginärdelen:

a^4+b^4-6a^2*b^2 = 2a
4a^3*b-4ab^3 = 0

från den andra ser man att a^2 = b^2, så b = +- a

sätt in a^2=b^2 i den första, vilket ger:

a^4 + a^4 - 6a^2*a^2 = 2a
a^3 = -1/2

vilket har den reela lösningen a = -(1/2)^(1/3)

och eftersom b = +- a så¨blir lösningarna

z= -(1/2)^(1/3) + (1/2)^(1/3)*i
och
z = -(1/2)^(1/3) - (1/2)^(1/3)*i

det blev rätt rörigt skrivet, men hoppas du kan se vad jag gjort ändå

Låt z = a+bi. Då är [;\overline{z} = a-bi;] och vi har [; z + \overline{z} = a+bi +a -bi = 2a ;]. Nu är 2a reellt, så om z^4 = 2a måste z ha argument npi/4, det vill säga vi har z = +-a, z = a +- ai och z = +-ai som möjliga lösningar. Fallet med reellt z ger [; a^4 = 2a ;] med lösningar a = 0, [; a = 2^{1/3};]. De två andra fallen borde du klara själv.

Roligt att ni tillsammans ger alla svar.