Derivera sec(x) (för användning i taylors polynom) - envariabelanalys

Hej. Stötte nyss på en uppgift jag inte vet hur jag ska lösa på enklaste sätt.

Uppgiften lyder: Hitta de indikerade taylor polynomen för funktionerna med användning av definitionen av taylors polynom. (knackligt översatt från eng)

Jag vet hur taylors polynom fungerar, men en av uppgifterna var:

"för sec(x) vid x=0 grad 3".

Jag måste alltså derivera sec(x) 3 gånger, slog det på wolfram och som exempel blev tredjederivatan
"tan(x)sec(x)(tan^2x+5sec^2x)" vilket känns lite krångligt.

Finns det något enklare sätt att derivera detta, omskrivningar etc? Var inte beredd på en så krånglig uppgift som 4e upg på kapitlet. Vet dessutom inte vad sec(0) blir, kan väl inte använda enhetscirkeln eller liknande till detta?

Alla svar uppskattas mycket!! Måste klara den här för e bannade tentan
MVH

sec x är cos x/sin x tror jag
derivatan är väl då ((cos x dx sin x) -(cos x sin x dx))/(sin x)^2

Snarare (cos(x)·cos(x) - sin(x)·(-sin(x)))/sin²(x) = (cos²(x) + sin²(x))/sin²(x) = 1/sin²(x).

dx har man för övrigt inte med när man deriverar.

Edit: Dessutom tänker du på cot, kom jag precis på. Secant är typ 1/cos(x).

Perfekt tack för svar!

Edit: Räknade på secx=tanx=sinx/cosx och fick att dx secx=1/cos^2x. upg äntligen löst!

sec x = 1/cos x, en i mitt tycke väldigt onödig benämning som verkar vara prevalent främst i amerikansk litteratur. Det ger alltså att d/dx secx=sin(x)/cos^2(x)=tan(x)/cos(x)

Du har rätt, måste slagit fel i wolfram.. puckad jag känner mig. aja, tack för korrigeringen Håller med om att det är en onödig benämning..

Lite sent kanske, men istället för att derivera:

Med geometrisk serie:

secx = 1/cosx = 1/(1 - x²/2 + O(x⁴)) = 1/(1 - (x²/2 + O(x⁴))) = 1 + (x²/2 + O(x⁴)) = 1 + x²/2 + O(x⁴)

Med ansats:

Eftersom secx = 1/cosx och cosx är en jämn funktion är även secx en jämn funktion. Vi kan alltså göra ansatsen secx = a₀ + a₂x² + O(x⁴)

secx = 1/cosx = 1/(1 - x²/2 + O(x⁴)) = a₀ + a₂x² + O(x⁴)

Multiplicera upp vilket ger oss:

1 = (1 - x²/2 + O(x⁴))(a₀ + a₂x² + O(x⁴)) = a₀ + a₂·x² -a₀/2·x² + O(x⁴)

Identifiering ger oss att a₀ = 1 och -a₀/2 + a₂ = 0 vilket ger att a₀ = 1 och a₂ = 1/2. Vi har alltså att secx = 1 + x²/2 + O(x⁴).