Max och min värde i fler variabel analys

Hej jag försöker räkna ut max och min värde, har ännu inte lyckats med nån uppgift :S

Tex denna- x^2+y^2-2x-2y+1
som begränsas av x^2+y^2<=9.

Jag får -1 som min av partiella derivator, men jag får bara fel när jag försöker sätta x=cost osv. Hur gör man detta?

Har inte börjat med flervariabeln ännu, men det är imponerande att du fick den till tre ord!

Du tar fram d^2f/(dxdy) och kollar vart den är noll på ytan. Sen måste du även kolla randen. Då kan du t.ex skriva om randen som något som är beroende av en variabel och sen derivera som vanligt för att hitta min/Max.

Lite slarvigt skrivet ifrån telefonen, men kör du fast så skriv gärna ut din lösning så kommer det komma någon och hjälpa dig därifrån.

Du kan antingen använda dig av lagranges eller bara parametrisera randen.

Max-/minvärden fås antingen som inre punkt, eller på randen.

Om Vi börjar med inre punkter;
f(x,y)=x^2+y^2-2x-2y+1
grad(f)=(2x-2,2y-2)
Vi ser direkt att grad(f)=(0,0) då x=1 och y=1 och detta ligger inom området.
f(1,1)=-1 precis som du kommit fram till.

Om vi parametriserar randen;
x=3cos(t)
y=3sin(t)
Ger att;
g(t)=9cos^2(t)+9sin^2(t)-6cos(t)-6sin(t)
g'(t)=6(sin(t)-cos(t))=0 --> sin(t)=cos(t)

Vi har alltså 2 punkter som är aktuella;

t1=pi/4
t2=5pi/4

Sätt in detta i g(t) och jämför med -1 som vi fått från inre punkterna.

Använder vi langranges;
f(x,y)=x^2+y^2-2x-2y
h(x,y)=x^2+y^2-9

grad(f)=(2x-2,2y-2)
grad(h)=(2x,2y)

Ger ekationssystemet;
2x-2=λ2x
2y-2=λ2y
x^2+y^2=9

Lös detta så bör du få samma lösning.

Edit;

d^2f/(dxdy) ger ingen direkt användbar information tyvärr.

f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = (x-1)^2 + (y-1)^2 - 1 har minimum -1 i (x, y) = (1, 1) som ligger inne i området. Max hittas där avståndet till (1, 1) är maximalt, vilket blir där cirkeln x^2 + y^2 = 9 skär linjen x = y och x, y < 0. Detta blir i (x, y) = (-3/sqrt(2), -3/sqrt(2)), och värdet där är 2(-3/sqrt(2) - 1)^2 - 1 = 2(9/2 + 6/sqrt(2) + 1) - 1 = 9 + 6 sqrt(2) + 1 = 10 + 6 sqrt(2).

Om du vill parametrisera cirkeln sätter du x = 3 cos(t), y = 3 sin(t) och sedan
g(t) = f(3 cos(t), 3 sin(t)) = (3 cos(t) - 1)^2 + (3 sin(t) - 1)^2 - 1
= 10 - 6 (cos(t) + sin(t))
Denna maximeras då cos(t) + sin(t) minimeras, vilket sker då t = 5pi/4 varvid cos(t) + sin(t) = 2*(-1/sqrt(2)) = -sqrt(2), så g(t) = 10 + 6 sqrt(2).