Tangenter som passerar genom en punkt

Jag har lite problem med ett par uppgifter som jag måste ha klart till i morgon. Ligger i feberyra och kan inte tänka riktigt klart. Vore evigt tacksam för några lösningsförslag till följande uppgifter

1. Bestäm tangenter till kurvan y = (1 + x^2)^-1 som passerar genom punkten (0, 1).

2. differentialekvationerna
a) y’ * y = -x, y(0) = 2
b) y’ + y = -x, y(0) = 2

Tack så mycket på förhand!

Sätt f(x) = (1 + x^2)^-1. Bestäm derivatan f´(0). Tangentens ekvation är sedan y = f´(0) x + f(0).


Vänsterledet kan skrivas som derivatan (y^2 / 2)´, dvs du har (y^2 / 2)´ = -x.
Antiderivera (glöm ej konstanten) och lös sedan m.a.p y.
Bestäm konstanten så att y(0) = 2.


Multiplicera ekvationen med e^x. Vänsterledet kan efter det skrivas som (e^x y)´. Antiderivera ekvationen (glöm ej konstanten) och lös sedan ut y.
Bestäm konstanten så att y(0) = 2.

Fast om man skissar kurvan sa ser man att det finns fler punkter i kurvan som har tangenter som passerar genom punkten (0,1)

Hur vet jag ekvationen for dessa punkter?

Ah, sorry, missuppfattade uppgiften.

Kurvans tangent vid x = a kan skrivas y = (x - a) f'(a) + f(a). För vilka a gäller att tangenten passerar (0, 1)? Svaret är tangentens ekvation för dessa a.

Så mycket hade jag också kommit fram till men sen är jag osäker på hur jag tar reda på för vilka a tangenten passerar punkten. Lättast att använda sig av tvåpunktsformeln antar jag men jag vet inte riktigt hur jag ska formulera den. Tack för hjälpen förresten

hehe jag vet inte riktigt vad jag tänkte med förra posten. Sätter självklart in mitt x- respektive yvärde i ekvation och löser för a. får på så vis fram att a = -1, 0 eller 1 för att tangenten ska gå igenom punkten (0,1)

Tack för hjälpen!