2013-05-03, 16:54
#13
Satslogik är väl mest om hur det fungerar att sätta ihop satser med hjälp av sådana ord som "och", "eller", "inte". Satslogik ska gälla alla satser och med "sats" kan man mena vanliga vardagliga språkliga satser som "mjölken står i kylskåpet" men det kan också vara komplicerade satser ur matematik t. ex. "en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall är nästan alltid sin x". Man vill säga något om satser i allmänhet, inte bara satser om mjölk eller talet 4 t. ex.. För att markera detta brukar man införa beteckningar för satser och det brukar vara bokstäver, "p", "q", "A" för att nämna några.
Sen vill man förenkla skrivandet och hittar på tecken för "och", "inte" och de andra småorden som binder ihop satser. Här finns olika varianter som du säkert sett, "och" kan bli "&" helt enkelt och "~" kan stå för "inte" eller negation. De här småorden som sätter ihop satser till större enheter, ex från A, B till A&B, kallar man för "konnektiv".
Sen finns det två sidor av satslogiken. Det är rätt viktigt,
å ena sidan sett så handlar det om hur sanningen av en sats som innehåller konnektiv beror av de ingående satsernas (som inte har konnektiv) sanning/falskhet. Satser som innehåller konnektiv kallar man för sammansatta satser. Det finns sammansatta satser som är sanna oberoende av sanningsvärdena hos de ingående satserna, dessa kallar man för tautologier.
å andra sidan så har man bevissystem för satslogik. En variant är att man utgår från en eller flera tautologier, de kallas för axiom, och en eller flera bevisregler (som säger hur man kan skriva om
axiomen).
Det som man hoppas på med bevissystemet är att det ska gå att få fram alla tautologier med hjälp av några få axiom och bevisregler. Har man lyckats med formuleringarna av axiom och regler så går det att bevisa (med hjälp av vanliga resonemang) att det faktiskt går att generera alla tautologier på detta sätt. Denna egenskap kallas fullständighet.
Som kuriosa kan nämnas att även den s.k. predikatlogiken (där det går att säga sådant som att "alla katter är grå", "det finns åtminstone en grå katt") är fullständig.
Sen vill man förenkla skrivandet och hittar på tecken för "och", "inte" och de andra småorden som binder ihop satser. Här finns olika varianter som du säkert sett, "och" kan bli "&" helt enkelt och "~" kan stå för "inte" eller negation. De här småorden som sätter ihop satser till större enheter, ex från A, B till A&B, kallar man för "konnektiv".
Sen finns det två sidor av satslogiken. Det är rätt viktigt,
å ena sidan sett så handlar det om hur sanningen av en sats som innehåller konnektiv beror av de ingående satsernas (som inte har konnektiv) sanning/falskhet. Satser som innehåller konnektiv kallar man för sammansatta satser. Det finns sammansatta satser som är sanna oberoende av sanningsvärdena hos de ingående satserna, dessa kallar man för tautologier.
å andra sidan så har man bevissystem för satslogik. En variant är att man utgår från en eller flera tautologier, de kallas för axiom, och en eller flera bevisregler (som säger hur man kan skriva om
axiomen).
Det som man hoppas på med bevissystemet är att det ska gå att få fram alla tautologier med hjälp av några få axiom och bevisregler. Har man lyckats med formuleringarna av axiom och regler så går det att bevisa (med hjälp av vanliga resonemang) att det faktiskt går att generera alla tautologier på detta sätt. Denna egenskap kallas fullständighet.
Som kuriosa kan nämnas att även den s.k. predikatlogiken (där det går att säga sådant som att "alla katter är grå", "det finns åtminstone en grå katt") är fullständig.
