Fysik 1a - krångliga lägesformler.

Hej! Jag läser runt lite på nätet och stötte på en uppgift där jag inte riktigt förstod hur de gjorde för att lösa en uppgift.

http://www.physicslearningsite.com/acceleration.html


För det första så visar de hur de olika formlerna fungerar. Jag hängde med ända fram tills de visade det här:

Vf 2d / t = at + 2Vi
Vi 2d / t = -at + 2Vf
t 2da = Vf² - Vi²

Vf = sluthastigheten , Vi=hastigheten från början

Dessa formler har jag inte använt mig av och jag kan heller inte se hur de fungerar. Om vi tar exemplet 2d / t , så borde detta motsvara den hastighet som krävs för att nå upp till motsvarande två sträckor på en viss angiven tid, t. hur detta motsvarar at + 2Vi, kan jag i nuläget inte se varför.

Hur de sen tillämpar dessa ekvationer för att lösa det sista exemplet med joggaren, förundrar mig likaså.

Själv hade jag på sista uppgiften använt mig av formeln: d= VoT + At^2/2

Hursomhelst, dessa formler har jag aldrig stött på förut, så jag skulle vara väldigt tacksam för all hjälp jag kan få. smile

Dom har ju kombinerat formlerna för a och d ifall man har mer än en okänd. Och inget man behöver lägga på minnet bara man vet hur man ska lösa ut det. Mitt tips är att inte memorera allt för mycket formler utantill utan försök förstå hur dom hänger ihop.

Ok, hur menar du med att de har kombinerats? Finns det något vardagligt exempel där man kan tillämpa formlerna? Just nu så ser jag inte hur just de tre formlerna fungerar och hur de har kombinerats.

Den enda formeln du egentligen behöver är just:

d= VoT + At^2/2

Jag kallar den sträckformeln:

Δs(Δt) = v(0)·Δt+a(Δt)²/2

Skillnaden i sträckan beror på tiden, alltså Δs(t). Δt, alltså tidsförändringen är den enda variabeln och här illustrerar vi konstant acceleration. v(0) är alltså starthastigheten vid tiden 0.

På enklare men inkorrekt form skriver vi:

s = v₀t+at²/2

Du vill alltså ha en härledning av dessa formler? Vi kan utgå från sträckformeln och definitionen av acceleration.

Vi gör en lista på de formler du vill ha härlett för dig, men jag kommer att använda andra variabler bara för att göra det lättare. Jag kommer att börja i kronologisk ordning från hur hemsidan anger formlerna.

Mina variabler:

s = sträcka
a = acceleration
v₀ = starthastighet
v₁ = sluthastighet
t = tiden

Listan av de formler du vill ha härlett är:

1. a = (v₁-v₀)/t
2. s = t·(v₁+v₀)/2
3. 2s/t = at+2v₀
4. 2s/t = -at+2v₁
5. 2as = v₁²-v₀²

Notera att det som de skriver i fetstilt inte ingår i formeln. De är otydliga med detta men de menar att om man saknar den fetstilta konstanten (de säger felaktigt variabel) så skall man använda den formeln som kommer efteråt. Det fetstilta ingår alltså inte i själva formeln.

Precis som de säger
Originalformlerna är alltså:

s = v₀t+at²/2
a = (v₁-v₀)/t

Första är sträckformeln som egentligen härleds med integraler. Men integraler kommer du inte att stöta på förens matematik 3. Men jag tror du accepterar sträckformeln, sedan har vi definitionen av acceleration. Alltså om du tänker dig hastigheten som en rät linje i ett koordinatsystem så är accelerationen lutningen, alltså riktningskoefficienten av hastigheten. Och eftersom du har läst om räta linjer i Matematik 1 bör du kunna definitionen av k-värdet som är skillnaden i y dividerat med skillnaden i x. Alltså har vi accelerationen som skillnaden i hastighet dividerat med skillnaden i tid. Fysiker är dock extremt slarviga rätt ofta så det verkar som om definitionen av acceleration inte har någon skillnad i tid, fast det är ju en skillnad i tid.

Den ser ju ut såhär:

a = (v₁-v₀)/t

Mer bestämt så tänker de sig att vi starar vid tiden 0. Alltså när t = 0, då är ju skillnaden i tid just.

a = (v₁-v₀)/(t₁-0) = (v₁-v₀)/t₁

Sedan kallar man t₁, alltså sluttiden lite slarvigt för t.

Det enda du egentligen behöver är alltså dessa två formler:

s = v₀t+at²/2
a = (v₁-v₀)/t

Alla andra, alltså punkt 2, 3, 4 och 5 kan härledas. Det kan vara bra att komma ihåg de olika formerna men jag minns aldrig alla utan bara de första två eftersom jag förstår dessa utan problem. Däremot minns jag alltså sträckformeln och definitionen av acceleration. Dessa två (punkt 1 och punkt 2) bör du lära dig uttantill även om de finns i formelsamlingen.

Nu skall vi börja med härledningarna. Den första som de skriver som en av sina punkter är ju definitionen av acceleration. Den går inte att härleda egentligen. Definitioner är något vi människor har bestämt, och vi har bestämt att förändringen av hastighet kallar vi acceleration. Punkt 1 är alltså en definition och den måste du komma ihåg.

Vi börjar då med punkt 2:

s = t·(v₁+v₀)/2

Vi skall bevisa att denna är sann utifrån sträckformeln.

Vi utgår från sträckformeln och definitionen av acceleration:

s = v₀t+at²/2 ⇔
2s = 2v₀t+at² ⇔

Notera nu att a = (v₁-v₀)/t. Vi skall använda detta och stoppa in i det vi har ovan.

2s = 2v₀t+((v₁-v₀)/t)t² ⇔
2s = 2v₀t+(v₁-v₀)t ⇔

Jag har alltså bytt ut a mot (v₁-v₀)/t. Sedan förkortade jag bort ett av t så vi bara har det som du ser är kvar.

2s/t = 2v₀+(v₁-v₀) ⇔
2s/t = 2v₀+v₁-v₀ ⇔
2s/t = v₀+v₁ ⇔
2s = t(v₀+v₁) ⇔
s = t(v₀+v₁)/2

Vilket skulle bevisas.

Punkt 3:

2s/t = at+2v₀

Bevis:
Utgå från sträckformeln

s = v₀t+at²/2 ⇔
2s = 2v₀t+at² ⇔
2s/t = 2v₀+at ⇔
2s/t = at+2v₀

Vilket skulle bevisas.

Punkt 4:

2s/t = -at+2v₁

Är egentligen exakt samma sak som punkt 3. Om vi ser hastigheten som positiv men accelerationen som negativ är det helt enkelt sluthastigheten vi studerar istället för starthastigheten.

Punkt 5:

2as = v₁²-v₀²

Bevis:
Utgå från sträckformeln.

s = v₀t+at²/2 ⇔
as = av₀t+a²t²/2 ⇔
2as = 2av₀t+a²t² ⇔
2as = 2av₀t+a²t² ⇔

Substituera definitionen av acceleration, alltså använd a = (v₁-v₀)/t på högerledet bara.

2as = 2((v₁-v₀)/t)v₀t+((v₁-v₀)/t)²t² ⇔
2as = 2(v₁-v₀)v₀+(v₁-v₀)² ⇔

Efter förenklingar av t får vi uttrycket ovan. Multiplicerar nu in v₀ nedan i den första parentesen.

2as = 2(v₁-v₀)v₀+(v₁-v₀)² ⇔
2as = 2v₁v₀-2v₀²+(v₁-v₀)² ⇔

Den sista parentesen, alltså (v₁-v₀)² har du inte lärt dig hur man gör än. Men om du är intresserad kallas det kvadreringsregeln.

2as = 2v₁v₀-2v₀²+v₁²-2v₁v₀+v₀² ⇔
2as = -2v₀²+v₁²+v₀² ⇔
2as = v₁²-v₀²

Vilket skulle bevisas.

Matematiken kanske är lite svår för att förklara detta ibland för dig eftersom du inte läst så mycket matematik. Men jag har skrivit nedan hur jag har gjort.

Jag hade kunnat skriva mer förklaringar i ord hur jag har gjort mellan varje steg men inlägget hade tagit över en timme att skriva då, så jag nöjde mig med att lägga ner dryga 40 minuter på detta. Är du osäker på ett matematiskt steg till ett annat kan du annars alltid fråga.

I vilket fall är summa kardemumma att det enda man behöver veta är definitionen av acceleration och sträckformeln.

Du är en gud! Tack så hemskt mycket!