Koncept efter kvadratkompletting!?

Hej!

Min matte är sjukt rostig. Jag kollar igenom kvadratkomplettering och det är ju rätt straightforward när man ska köra liksom a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 men om man vill bryta ut typ x2 - 7x + 6 och det blir (x-6)(x-1) så är jag inte lika bra på att plocka andra delen då. Vad för koncept är det? Någon som kanske kan skicka någon bra länk ?

För det första är x²=x^2, men detta är INTE samma sak som x2. Skriv rätt.



Så här härleder man formeln för andragradsekvationer:

x²+px+q=0
Vi vill hitta en kvadrat som ger x²+px+m för något m
(x+p/2)²=x²+px+p²
Alltså:
(x+p/2)²-p²+q
(x+p/2)²=p²-q
x+p/2=+-sqrt(p²-q)

Konceptet, eller snarare minnesregeln härleds utifrån:

(x+a)(x+b) = x^2+bx+ax+ab = x^2 +x(a+b)+ab om vi betraktar allt som inte är x:

(a+b)+ab så ser vi att en ekvation på formen:

x^2+cx+d (I) kan skrivas som (x+a)(x+b) omm (om och endast om):

(a+b) = c (II)
a*b=d (III)

Kan du lösa II & III så kan du kvadratkomplettera (I), vilket är det du vill göra.

Minnesregeln är alltså:

Vilka tal ska jag addera för att få summan c och produkten d samtidigt?


I ditt exempel:

x2 - 7x + 6

Vilka tal ska jag ADDERA för att få -7 och som ger produkten 6?

eller:

a+b=-7 (I)
ab=6 (II)

-6+-1 = -7
-1*-6 = 6

Alltså är a=-6 och b = -1 eller vice versa.

I just detta fall är det lättast att gissa på produkten (det finns få kombinationer 1*6,2*3,-1*-6,-2*-3) varav det är uppenbart att det är -1 & -6 som ger summan -7.

Snyggt!
Men för att lösa ekvationssystemet i (I) och (II) så kommer man återigen till en andragradsekvation?

Även min matte är lite rostig ...

Om det är kvadratkomplettering du vill göra så är det bara till att justera med en konstant och göra exakt samma sak.

Skriv således om på detta sätt:
x² - 7x + 6 = x² - 7x + 49/4 - 49/4 + 6 = (x - 7/2)² - 49/4 + 6

Mellansteget kanske bara försvårar. Det tycker jag iaf.

Om du vill faktorisera så är ju x2 - 7x + 6 = (x-6)(x-1) korrekt. Vad är det du har svårt med här? Svårt att tolka.

Så långt är jag med, tänkte att det var underförstått att jag avsedde x^2 när jag skrev x2 men okej! Tycker själv det ser lite lurt ut när man använder ^2 även om det är vedertaget.

Jojo, det förstår jag ju med men som jag sa så försöker jag inte hitta kvadraten utan komma fram till ett resultat som EJ är "kvadraserat" typ det jag skrev ovan. Något som ser ut som (x+/-konstant A)(x+/-konstant B).

Antingen löser du ekvationen x²-7x+6. Eller så testar du att lösa den med några olika värden på x. Använd http://sv.wikipedia.org/wiki/Eisensteins_kriterium för minska antalet kandidater att testa för x.

Jojo men det är bara för jag sett "facit". Får jag ett annat uttryck så vet jag inte vad jag ska bryta ut emot om det inte är en jämn kvadrat. Såg ut som någon skrev rätt formel alltså, man kör bara a+b = -konstanten då.

Hej,
men om du löst ekvationen (svar på din ekvation ger att x1=6 samt x2=1) så är det ju enkelt att därefter faktorisera => (x-6)(x-1).

Kanske jag missförstår dig?

Icke. Jag fick bittert lära mig att 2x=x2. Om r_1 och r_2 (Ja, det är så vi skriver nedsänkta siffror) är rötter till ekvationen kan ekvationen skrivas (x-r_1)(x-r_2)=0

Fundera lite på denna. Det är rätt självklart när man tänker efter.

Om du löser det explicit, ja. Det är därför du frågar dig själv frågan. Minnesregeln är ju bara användbar vid tillrättalagda tal, i tex. skolmiljö (med heltalsrötter). Se patworiks inlägg för en allmän lösning.

Aha, tack!
Jag förstår dock inte helt patworiks inlägg. Själv resonerar jag så här vad gäller den allmänna lösningen:

x^2 + ax + b = 0

x^2 + ax + b + (a/2)^2 = (a/2)^2

(x+a/2)^2 = (a/2)^2 - b

x + a/2 = +- sqrt((a/2)^2 - b)

x = -a/2 +- sqrt((a/2)^2 - b)